【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第八章牛顿第三运动定律

【山话||  本篇专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；而老教材中的重量单位公斤，如今是用力单位牛顿表示】 

§8-3动量和冲量，动量定理

【01】在牛顿定律建立以前，力学已经有了一定的发展。当时很多人从事于研究碰撞和打击之类的问题，并且发现物体的运动状态和物体的质量及其速度都有关系，因此仅仅用速度来描述是不够的。例如，两辆汽车的质量相等、速度不同，要它们在同一时间内停下来，速度较大的就比较困难；反之，如果质量不同（例如一辆空车，一辆载货）而速度相同，那么要它们在同一时间内停下来，载货的汽车就要比空车困难一些。由此可见，物体的运动状态是由物体的质量和速度这两个因素决定的。

【02】同时，人们还发现，在运动状态发生变化的过程中，物体的质量m和速度v的乘积mv遵从一系列确定的规律，例如下面就要讲的动量守恒定律。

【03】在这些事实的基础上，人们把运动物体的质量m和速度v的乘积mv叫做这个运动物体的动量。动量是一个矢量，它的方向和速度的方向相同。

【04】另一方面，我们已经知道，物体运动状态的改变与别的物体对它的作用有关。例如，一辆行驶着的汽车，如果对它急刹车，即对它加上很大的阻力，则在很短的时间内它就会停止下来；如果对它加上很小的阻力，结果也会停止下来，不过时间要长得多。这两种情况，对于汽车运动状态的改变起着相同的效果，即都使汽车停止下来。由此可见，引起物体运动状态的改变，要同时考虑作用力和力的作用时间这两个因素。

【05】我们把作用力F与作用时间t的乘积Ft叫做作用力的冲量。冲量也是一个矢量，它的方向和作用力的方向相同。

【06】作用时间很短的力叫做冲力。

【07】根据牛顿第二运动定律，我们知道，物体受到一个恒力作用时，它所获得的加速度也是一个恒量。假定一个质量为m的物体受到一个恒力F的作用，在时间t内，速度从v₁增加到v₂，那么它在时间t内所获得的加速度a为：。以此代入牛顿第二运动定律F=ma中，即得或Ft=mv₂-mv₁  。

【08】上式左边是作用力在时间t内的冲量，右边是物体在时间t内所增加的动量。这样，我们可以得出一个结论：一个物体在时间t内的动量的改变，等于作用在物体上的外力在相同时间内的冲量。这个结论，我们叫它动量定理。

【09】动量和冲量的单位可以列表如下：

【10】最后，我们还要着重说明下列两点：

【11】第一，从动量定理我们知道，物体动量的改变是由力和力的作用时间两个因素决定的。力越大，作用时间越长，冲量就越大，因而物体的动量就改变得越多。动量改变的方向总是和冲量的方向（即外力的方向）相同。

【12】如果动量的改变是一定的，那么，力的作用时间越短，则作用力越大；反之，力的作用时间越长，则作用力越小。例如茶杯掉在石头上，立刻破碎，如果掉在软的东西上，则不容易破碎，就是这个道理。搬运玻璃器具时，总要在木箱里面放上许多纸屑和刨花等，以减少搬运时的损坏，也是这个缘故。此外，例如有的起重机在悬挂重物的钢索与吊钩之间装上一根特殊的缓冲弹簧（图8·15），就是为了延长货物的动量变化所需的时间，以防止突然吊起重物时钢索断裂。

【13】第二，动量定理在处理碰撞和打击等问题中，有它特殊重要的意义。在这类问题中，物体相互作用的时间非常短促，相互作用的冲力很大，而且是变化的（即不是一个恒力）。由于时间过短，相互作用的力很难测定，因此牛顿第二运动定律就无法直接应用，但是力的冲量则可以通过动量的改变来测定。

例6.一个棒球的质量为300克，速度为20米/秒，如果用棒就其运动方向反击一下，则其速度变为30米/秒。设接触的时间为0.02秒。求冲量和平均冲力。

【解】按题意：m=300克=0.3公斤，v₁=－20米/秒，v₂=+30米/秒（注意v₁和v₂的方向)，t=0.02秒。

        用动量定理公式，得

        冲量=0.3×30－0.3(－20)=15公斤·米/秒，

        平均冲力==750牛顿。

例7.巨型桥式起重机的钢索可以支持175,000公斤。在起重一个140吨的重物时，如果要它在0.2秒内从静止得到2.6米/秒的上升速度，钢索会不会断裂？如果装上一根缓冲弹簧后，使重物在1.2秒内得到同样的速度，钢索会不会断裂？

【解】判断起重时钢索会不会断裂，要看钢索的张力是否大于它可以支持的力F来决定。钢索的张力等于钢索拉重物的力，它的一部分等于重物的重量W，另一部分等于F₁，使物体获得加速度上升。

        当F>W+F₁时，即F₁<F-W时，钢索不会断裂；

        当F<W+F₁时，即F₁>F-W时，钢索要断裂。

        现在，F=175,000公斤=1,715,000牛顿，W=140吨=140,000公斤=1,372,000牛顿。

        ∴F-W=1,715,000-1,372,000=343,000牛顿。

        所以我们只要求出平均冲力F₁的大小，就可以判定钢索会不会断裂，如F₁>343,000牛顿，钢索要断裂；如F₁<343,000牛顿，钢索不会断裂。

(1)未用缓冲弹簧时。

        已知：v₁=0，v₂=2.6米/秒，t=0.2秒，m=140吨=140,000公斤。

        此值远大于343,000牛顿，可以肯定钢索会断裂。

(2)装上缓冲弹簧时。

        已知：v₁=0，v₂=2.6米/秒，t=1.2秒，m=140,000公斤。

        。

        此值小于343,000牛顿，所以钢索不会断裂。

习题8-3

1、人从高处跳下时，必须用脚尖着地，不应用脚跟着地。试解释其原因。

2、从牛顿第二运动定律知道，不论作用力怎样小，都要使物体获得加速度。但当我们用力推一个沉重的柜橱时，却往往推不动，这是什么缘故呢？

3、用汽锤打击铁钻的时候，为什么大铁钻比小铁钻的振动小？

4、足球队员用14百万达因的力踢足球，球的质量是700克。如果踢球作用的时间是0.02秒，求足球飞出时的速度。【4.4米/秒】

5、用重5公斤的铁锤把道钉打进铁路的枕木里面去，在打击时，铁锤的速度等于5米/秒。如果它们相互作用的时间是0.01秒，求打击时的平均冲力。【2500牛顿】

6、建筑工地上用的夯，质量是60公斤，如果让夯从离地面0.4米高处自由落下，问在将要着地时的动量是多少？如果它从接触地面到静止时所经过的时间为0.1秒，问地面受到的平均冲力多大？【168公斤·米/秒，1680牛顿】