点差复点差(2020浙江圆锥曲线)
(2020浙江,21)如图,已知椭圆
:
,抛物线
:
(
),点
是椭圆
与抛物线
的交点,过点
的直线
交椭圆
于点
,交抛物线
于点
(
、
不同于
)
(1)若
,求抛物线
的焦点坐标;
(2)若存在不过原点的直线
使
为线段
的中点,求
的最大值.



解:(1)若,
则
则的焦点坐标为
.


(2)分别设点、
、
的坐标为
、
、
,
因为、
在
上,所以
……①
……②
①②(点差法),得
,
即,
即,
即……(
)


因为、
在
上,所以
……③
……④
③④(点差法),得
,
即……(
)


又因为,
所以得
,
将④代入上式,化简得
.

所以,
解得.


联立①、③,消去得
,
所以
解得,
所以的最大值为
.