《几何原本》命题2.7【夸克欧氏几何】

命题2.7：

如果任意两分一条线段，那么原线段上的正方形与两小段之一上的正方形之和，等于原线段与该小段构成的矩形的二倍与另一小段上正方形的和

已知：线段AB，点C在AB上

求证：S正方形AB2+S正方形BC2=2S矩形AB×BC+S正方形AC2

解：

在AB上作正方形AB2

（命题1.46）

像前两个命题那样作出如下图形

证：

∵S矩形AC×BC=S矩形EF×FG

（命题1.43）

∴S矩形AB×BC=S矩形BE×FG

（公理1.2）

∴S矩形AB×BC+S矩形BE×FG=2S矩形AB×BC

（公理1.2）

∵S矩形AB×BC+S矩形BE×FG=S磬折形KLM+S正方形BC2

（已知）

∴S磬折形KLM+S正方形BC2=2S矩形AB×BC

（公理1.1）

∵矩形AC×BC中，AC=GH

（命题1.34）

∴S正方形GH2=S正方形AC2

（公理1.1）

∴S磬折形KLM+S正方形GH2+S正方形BC2=2S矩形AB×BC+S正方形AC2

（公理1.2）

∵S磬折形KLM+S正方形GH2=S正方形AB2

（已知）

∴S正方形AB2+S正方形BC2=2S矩形AB×BC+S正方形AC2

（公理1.1）

证毕

此命题将在命题2.13中被使用