-UP主汉语配音-【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方...
01-向量究竟是什么？
三种视角：
- 物理视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和它所指的方向，只要向量的长度和方向不变，向量可以在空间中任意移动
- 计算机视角：向量是有序的数字列表；
- 数学视角：加法和数乘运算；向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可
向量加法运算：
三角形法则；平行四边形法则；
- 几何观点（物理观点）：
每一个向量是一种特定的运动，即在空间中朝着某个方向迈出（平移）一定距离。
先沿着第一个向量运动再沿着第二个向量运动与直接沿着两个向量的和运动是等效的；
物理中的位移和合力
- 数字观点（计算机观点）：
把对应项加起来：沿着向量各个分量运动和直接沿着和向量运动是等效的；
向量数乘运算：
数字作为标量使向量拉伸、压缩和反向
标量是向量缩放的度量
02-线性组合，张成的空间与基
平面直角坐标系xoy中有两个非常特殊的向量，一个是x轴上的单位向量i，两一个是y轴上的单位向量j，任何一个二维向量[a,b]的分量a和b都可以看作标量，使 x轴上的单位向量i 和 y轴上的单位向量j 缩放为 ai 和 bj 所以任何向量都可以看作经过缩放的基向量的和。
“缩放向量并且相加”
坐标系的基（基向量 basis vectors）：x轴上的单位向量i；y轴上的单位向量j；把坐标的分量看作标量时，各个基向量就是标量分别缩放的对象。
我们完全可以选用不同的基向量获得一个合理的新坐标系，平面内任意两个线性无关的向量作为基向量，通过选择两个标量，分别用于缩放二者其中的一个，然后把二者相加，就可以得到所有的二位向量。
每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。
两个数乘向量的和就是这两个向量的线性组合（linear combination）
平面内的任意两个向量：
- 两个不共线是二维向量
- 两个共线的二维向量
- 两个零向量
所有可以表示给定向量线性组合的向量集合被称作给定向量张成的空间（span）
一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献，你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，当这种情况发生时，我们称它们是"线性相关"的(linearly dependent) 另外一种表述是，其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其它向量张成的空间之中
如果所有的向量都给张成空间增加了新的维度，它们就是“线性无关”的（linearly independent）
空间的一组基：张成该空间的一个线性无关的向量集合
03-矩阵与线性变换
变换：一种映射关系，比函数的概念更为广义，接收内容并且输出结果，在线性代数中，考虑接收一个向量并输出一个向量的变换
向量的函数：运动的观点：变换使得一个向量变成另一个向量，也就使得这些向量张成的空间发生了变化。
线性变换：
- 直线变换后依然保持为直线，不能弯曲
- 原点保持固定
线性变换不改变变换前后线性组合的系数
线性关系在线性变换后继续保持
若找到原空间的基对应的象空间的基，则这两个空间相对应的向量在对应的基下，坐标相同
不妨用相对运动和绝对运动的思路去理解这个变换过程
一个二维线性变换仅由四个数字完全确定
矩阵的列可以看作是变换后的基向量在原始坐标系(基向量)下的坐标
剪切(斜切)变换=伽利略变换=洛伦兹变换？？
线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动，这种变换只需要几个数字就能描述，这些数字就是变换后基向量的坐标，以这些坐标为列所构成的矩阵作为描述线性变换的语言，矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于定向量的一种途径，每一个矩阵都对应了一种特定空间变换。
04-矩阵乘法与线性变换复合的联系
线性变换：是将向量作为输入和输出的一类特殊的函数(映射)，还可以看作是对空间的挤压伸展；它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不变。
线性变换由它对空间的基向量的作用完全决定
因为其他任何向量都表示为基向量的线性组合
坐标为[x,y]的向量就是[x,y]=x·i+y·j
线性变换的推论：
变换后的向量[x,y]=x·变换后的i+y·变换后的j
变换后的x轴上的基向量和变换后的y轴上的基向量作为矩阵的列，并且将两列分别与x和y相乘后加和的结果定义为矩阵向量乘积。
所以矩阵代表一种特定的线性变换。
两个独立变换的复合对应于两个矩阵的积
矩阵相乘的几何意义：线性变换的相继作用
矩阵乘法没有交换律：因为函数有先后，改变顺序后，同样的输入会带来不同的输出。
矩阵乘法有结合律：因为无论括号怎样移动从整体上看，都是从右向左进行运算。
三维空间的线性变换：
空间中的比较复杂的旋转平移变换，可以分解为多个简单的变换复合。
05-行列式
有些线性变换让空间向外拉伸，有些线性变换让空间向内挤压。行列式就是测量变换对空间有多少拉伸或挤压，即测量给定区域测度增大或减小的比例。
线性变化的缩放比例，就是行列式
行列式出现负值：空间发生了翻转，右手系变为左手系(磁通量)，右手定则判断空间定向
所以行列式还可以理解为：
n+1维图形旋转时在n维空间上的投影的测度
06-逆空间、列空间、秩与零空间
线性方程组---向量方程
向量方程：系数矩阵，未知向量，常量向量
求解向量方程的几何意义：在系数矩阵所代表的线性变换下，寻找一个未知向量，使得未知向量在线性变换后与常量向量重合。
方程的解充分依赖于系数矩阵所代表的变换：是将原空间压缩到更低维空间，还是保持原有的维度不变，即行列式为零或行列式不为零。
行列式不为零：存在逆变换：有且仅有一个未知向量在变换后与常量向量重合，并且可以通过逆变换来让常量向量变为未知向量。
逆变换：一个变换与其逆变换的乘积时单位阵
行列式为零：不存在逆变换：想要求解就要引入新的术语——rank秩：变换后的空间的维数
所有可能的输出向量构成的集合，或者说矩阵的列向量的线性组合，就是矩阵的列空间。所以列空间就是矩阵的列向量所张成的空间。
秩的精确定义是列空间的维数
秩与列数相等，成为列满秩。
零向量一定被包含到列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。对于满秩矩阵来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身。对于非满秩矩阵来说，它将空间压缩到更低的维度上，也就是会有一系列的向量在变换后成为零向量。
只要第n维度坍塌了，属于第n维的一系列的向量就会落在原点处
平行于这个基向量的直线（某个维度）上的所有向量被压缩到了原点
特解是对非齐次来说的，直线上找到得解是唯一解
变换后落在原点的向量的集合，被被称作矩阵的零空间或核，变换后一些向量落在零向量上，而零空间正是这些向量构成的空间。
对于线性方程组来说，当常量向量恰好为零向量时，此时叫做齐次线性方程组，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解
总结：每一个线性方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时，你就能够利用逆变换求解方程组，否则，列空间的概念让我们知道什么时候存在解，零空间的概念有助于我们理解所有可能解的集合是什么样的。
非方阵，不同维度空间之间的线性变换
不同维数的变换：输入空间和输出空间
3×2矩阵的列空间：三维空间中一个过原点的二维平面，但这个矩阵仍然时满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相等(列满秩)。
3×2矩阵的几何意义：将二维空间映射到三维空间上，因为矩阵有两列，代表输入空间有两基向量，有三行，表示每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述。
二维空间到一维空间的变换：主成分分析；
与点积紧密相关，来在位移方向上的功
07-点积与对偶性
点积：两个等维度向量，对应分量相乘再相加
几何意义：一个向量的长度乘以另一个向量在这个向量方向上的投影长度。
做功：力×位移=功=能量变化
点积与顺序无关：
先投影后缩放和先缩放后投影
对称情况下：
不对称情况下：
提出常系数，还可以形成镜像投影
对应坐标相乘并相加和投影联系：
对偶性：投影变换与点积的对偶性
多维空间到一维空间(数轴)的线性变换：
1×2矩阵：输入空间为二维，输出空间为一维
1×2矩阵×二维向量=一维向量
向量到实数的映射
投影矩阵刚好是u向量(一维空间的单位向量的)的转置
与单位向量的点积可以解读为将向量投影到单位向量所在直线上所得到的投影长度
非单位向量：向量与给定非单位向量的点基可以解读为，首先朝给定向量上投影，然后将投影的值与给定向量长度相乘。
08-叉积的标准介绍
向量的叉积就是这两个向量构成矩阵的行列式
叉积生成的向量同时垂直于两个原向量
以线性变换的眼光看叉积
对偶性：总结：一个平行六面体的体积=一个向量的投影*两个向量的面积=一个向量·垂直两个向量的向量且长度为两个向量的面积
面积=投影；高度=向量长度；然后得到：点积=体积
09-基变换
同一个向量在不同坐标系下的表述
10-特征向量与特征值
11-抽象向量空间
