【种花家务·代数】2-2-04本章复习（一元一次不等式）

2023-11-17 09:36 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章一元一次不等式

本章提要

1、几个重要概念

绝对不等式和条件不等式，不等式的解。

2、不等式的性质

(1) 如果a＞b，那末a＋c＞b＋c（或者a－c＞b－c）；

(2) 如果 a＞b，c＞0，那末 ac＞bc （或者 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D%3E%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D$ ）；

(3) 如果 a＞b，c＜0，那末 ac＜bc（或者 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D%3C%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D$ ）。

3、一元一次不等式的解法

(1) 应用移项法则，并合并同类项，把不等式先化成下面的形式：ax＞b 或者 ax＜b；

(2) 再应用性质2或性质3求出不等式的解。

复习题二

1、

(1) 绝对不等式和条件不等式有何区别？各举两个例子。它们的解有何区别？

(2) 不等式的解和方程的解有何区别？

2、下面两题的解法，对不对？为什么？

(1)－x＝8，两边都乘以－1，得 x＝－8；

(2)－x＞8，两边都乘以－1，得 x＞－8 。

3、

(1) 如果 a＞b，是否一定会得到 ac²＞bc²？为什么？[提示：要考虑 c＞0，c＜0，c＝0 三种情况]【不一定】

(2) 如果 ac²＞bc²，是否一定会得到 a＞b？为什么？【一定】

4、在数轴上，指出表示下列不等式里的x的点所在的范围：

(1) x＞3；(2) x＜－2；(3) 1＜x＜4；(4)－3＜x＜2；(5) |x|＞2；(6) |x|＜3 。

[提示：1＜x＜4 表示 x 的值既要大于 1，又要小于 4]

5、解下列各不等式，并且在数轴上把它们的解表示出来：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%5C%3B1%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%3E3-%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B2%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(2)%5C%3B3-%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%3E%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D-%5Cfrac%7B4x-3%7D%7B6%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(3)%5C%3B%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D-%5Cfrac%7B2x-1%7D%7B12%7D%3C%5Cfrac%7B3x%2B1%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%3B%20%5C%5C%0A%26%26(4)%5C%3Bx-5-%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B3%7D%3C%5Cfrac%7B2x%2B3%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D-1%3B%5C%5C%0A%26%26(5)%5C%3B(2x-1)%5E2-1%3E4(x-1)(x%2B2)%3B%5C%5C%0A%26%26(6)%5C%3B%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D-1%5Cright)%5E2%3E%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B3%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D-3%5Cright).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A$

【(1) x＞ $%5Cscriptsize3%5Cfrac35$ ，(2) x＜ $%5Cscriptsize2%5Cfrac14$ ，(3) x＞ $%5Cscriptsize2%5Cfrac5%7B16%7D$ ，(4) x＞ $%5Cscriptsize-7%5Cfrac34$ ，(5) x＜1，(6) x＜10】

6、求出适合下列各式中 x 的数值范圈，并且在数轴上把它表示出来：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5C%3B%5Cfrac%7B(2x-7)%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B3%7D%5Cgeqslant%5Cleft(x-1%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%3B%5C%5C%26(2)%5C%3B%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dx-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cleqslant%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%5E%7B2%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【 $%5Cscriptsize(1)%5C%3Bx%5Cleqslant2%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D%2C%5Cquad(2)%5C%3Bx%5Cleqslant1%5Cfrac%7B149%7D%7B216%7D%3B$ 】

7、x 取哪些数时，代数式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3x%7D2-8$ 的值，(1) 大于 7－x 的值？(2) 小于 7－x 的值？(3) 等于 7－x 的值？并且在数轴上把它们表示出来。【.(1) x＞6，(2) x＜6，(3) x＝6】

8、已知 a ≠ b，求证：

(1) (a－b)²＞0；(2) a²－2ab＋b²＞0；(3) a²＋b²＞2ab；(4) ab＜1/2 (a²＋b²) 。

[提示：证明(1)时，因为a ≠ b，只要考虑不论 a－b 的结果是正数还是负数，(a－b)² 应该怎样？证明(2)，(3)，(4)时，根据(1)，利用解不等式的方法来证明]

*9、

(1) 证明：如果 a 是正数，那未不等式 |x|＞a 的解是 x＞a 或者是 x＜－a；

[解法举例：如果 x 是正数或者零，那末 |x|＝x，所以原不等式就是 x＞a (a＞0) 。这个不等式的解是x＞a。如果 x 是负数，那末 |x|＝－x，所以原不等式就是－x＞a (a＞0) 。这个不等式的解是 x＜－a 。因此，原不等式的解是 x＞a 或者 x＜－a]

(2) 解下列各不等式：

(ⅰ) |x|＋1＞5，(ⅱ) |x＋1|＞5，(ⅲ) |2x－1|＞3 。

[提示：应用(1)的结论，只要把 |x＋1| 和 |2x－1| 都看做 |x| 一样去解]

【(ⅰ) x＞4，x＜－4，(ⅱ) x＞4，x＜－6，(ⅲ) x＞2，x＜－1】

*10、

(1) 证明：如果 a 是正数，那末不等式 |x|＜a 的解是－a＜x＜a；

(2) 解下列各不等式：

(ⅰ) |x|－2＜3，(ⅱ) |x|－1/2＜0，(ⅲ) $%5Cscriptsize%5Cleft%7C1-%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%5Cright%7C%3C%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D$ 。

【(ⅰ)－5＜x＜5，(ⅱ) －1/2＜x＜1/2，(ⅲ) 1＜x＜5】

*11、农具厂原计划在一个月内（30天）生产抽水机 165 部，前 8 天每天平均生产了 $%5Cscriptsize%205%5Cfrac12$ 部，后来要求提前 5 天超额完成任务，以后几天里，平均每天至少要生产多少部？【 $%5Cscriptsize%20x%3E7%5Cfrac%7B2%7D%7B17%7D$ （至少8部）】

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复习题二