|ψ> 是什么 || 胡言乱语集

关于  是什么的问题，想必困扰过不少《量子》初学者。

最早了解这个符号还是高二的时候，当时搞了一套《费曼讲义》，非常好看，其中前两部给笔者的数学物理水平带来极大的飞跃。但唯独这第三部一直不敢花时间往后看，因为这一部在讲的内容就是量子力学。往后面瞄了一眼，只记得里面全是  这种奇怪的符号，心里知道量子对数学的要求绝对不低，所以身为高中生也不敢从头看起，太烧时间。

后来陆陆续续看了一些费曼，也看了一点点经典的量子教材像 Sakurai, Shankar, 曾谨言。所有这些书，给我这个初学者的感觉就是并没有给  这个东西给出一个明确且统一的定义。

国外的量子教材和国内相比切入点很不一样，对我这样的初学者的理解有不小的影响。笔者最早接触的费曼讲义，在这种表达式首次出现时更是含糊其辞，只说这是系统从 psi 态 到 alpha 态的复振幅，让人很难搞清楚它的本质是什么。国外的教材通常会在量子的开始就引入态矢  的概念并介绍其运算规则，让我觉得是它是一个复的向量：

国外教材把它叫做ket，与它对偶的左矢被叫做bra。它们之间的点积运算和向量的点积是一样的(除了为了保证模长为正实数而给左矢每个元素取了复共轭)，更加坚定了我认为它是一个向量的想法。像费曼讲义和 Sakurai 就分别从自旋 1 和 1/2 系统的 Stern-Gerlach 实验开始作为态矢应用的实例，这两个系统还恰好都是离散的，态矢就可以当向量看。

但是曾谨言的切入点不一样，他从概率幅的角度引进了波函数 , 并给出粒子出现在空间中某点的概率密度是 . 而费曼讲义也有一个类似的切入点，他从双缝干涉实验开始，首次引入复振幅  来表征双缝干涉中光屏上位置 x 接收到光子的概率。在这些场景里波函数似乎是一个关于空间坐标的函数。

总之，不同的教材从不同的实验开始引入  ，导致笔者一时间搞不清楚它到底应该是个向量还是一个函数。不同的教材之间出现了一层无形的势垒，阻止我把它们的知识联系起来。

转折还是出现在笔者翻高代，想提高一下数学基础，然后在看线性空间的内容时，突然意识到一件事...

初看这定义，和向量空间的定义差不多。但是仔细看，里面根本没有对线性空间中的元素是什么作出具体要求，只要满足那几条线性的运算规律就可以了。

那么，n 维向量可以构成线性空间，其他的就不行吗？

比如说，实数域上的全体一元函数 , 定义加法运算  满足

那么两个实数域上的一元函数任意的线性组合显然还是一元函数，所以实数域上所有一元函数也和向量一样，构成一个线性空间。换句话说，从更抽象的层面看，向量和函数可以说是一个东西。函数是无限维的向量，向量是离散的函数。我们甚至可以类比地定义函数的点乘：

根据这种思想，容易得到函数的柯西不等式：

既然这样，是什么也就不用纠结了——既可以是离散的向量，也可以是连续的函数。都是一样的。

说到这里，想起来一个问题：

向量空间里面有一种概念叫基，说的是这样一组向量

使得向量空间的任意向量可以唯一地表示为它们的线性组合：

我们可以为向量选取不同的基，比如说 就是三维空间的一组标准正交基。

既然函数也具有向量的一些特性，那么向量可以选择不同的基表示，函数可以吗？

其实也是可以的。还以  上的一元函数为例，傅里叶变换：

就可以看作在标准正交基  与  之间的变换。

(向量的基是向量，函数看作向量的话，基当然也是函数。函数普通表示的话基就是δ函数，变换之后的基就是 exp(i ωx) 了。)

比如说如果向量空间中我们取的是一组标准正交基，那么对应的系数就可以简单由  得到。对比傅里叶变换的表达式和前面提到的函数的点积，有没有觉得很像？

之前同样造成过困惑的概念是 Operator, 算符。在把  看作向量的时候，Operator 的作用规律就可以看作矩阵；而对于从概率幅引入的波函数 ，Operator 则是一个作用于函数的算符。

所以 Operator 到底应该是算符还是矩阵？

事实上如果向量和函数可以看作一样的东西，算符和矩阵也同样可以看作一样的东西。它们都是对 的一种操作。比如说，x方向的动量算符：

它作用于波函数，而如果波函数可以看作向量，则它就完全可以看作矩阵

的无限维的极限。（回忆一下导数的定义，它反映的就是函数上非常接近的两点之间的差值。）

（啊，上面这个矩阵好像不是厄米的...但是总之就是差不多这个意思了就对了）

就是说，算符和矩阵，也是一样的东西，都是对波函数的某种特定操作。

总结

上面主要讨论了一些关于连续与离散的线性体系的一些思考。

其实很多也就是自己的一些想法，有不准确之处还请指正。