group theory

半群:在集合上定义了一种满足结合律的运算，比如全体正整数数定义加法

含有单位元的半群：

群：任何元都有逆元:

群就是集合加上一种运算，这种运算不再具象化为加法或者乘法。

下面就看单位元的唯一性。 单位元的定义是,假设还有另一个单位元。有了单位元才可以定义逆元，交换律并不是默认的，就会有左逆和右逆的问题,如何证明是同一个东西。

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所以可以用我们已知的数学知识来举例，比如说全体的矩阵按照矩阵乘法就是典型的含单位元的半群，如果考虑那些全体的可逆矩阵才可以成为群，再考虑那些全体的矩阵也是一个群。所以这里就引发了一个问题，是不是先取一个含单位元的半群，然后挑出所有的可逆元素就可以构成一个群，答案是肯定的。而实际上这种做法也是非常常用的。比如考虑整数的模剩余类，在乘法下构成的是半群但不是群，但是可以挑出全体的数字，就构成，因此是素数就恰好是一个群。