三角函数与频率

书本上频率是这样定义的：频率是在单位时间内完成周期性运动的次数。大家知道音乐有高音和低音，也就是高频率和低频率。一首音乐片段转化成电信号通常如图所示：

这并非周期性振动，我们怎么会听出其中既有高音又有低音的？又如屏幕上显示的股票行情，它们都不是随时间周期性变化的，那么它们有频率吗？假如有频率又该如何定义？

1582年，意大利科学家伽利略在比萨的教堂观察到一个现象：吊灯受到触碰会产生小幅摆动，而每次摆动所花费的时间几乎是相等的，这个发现被称为“摆的等时性原理”。又过了半个多世纪，荷兰科学家惠更斯利用这个原理发明了摆钟，这就是钟表技术的源头。

不久人们发现，钟摆运动的轨迹可以用三角函数描述：

图中的T是三角函数的周期：无论以何时刻为起点，每经过T时间，钟摆位置就会重复。三角函数的频率等于其周期的倒数——1/T。假如一个三角函数的周期T=5毫秒（千分之五秒），那么它一秒钟就会完成200次周期性运动，频率就是200次，单位是“1/秒”。为了纪念德国科学家赫兹，人们规定这个单位为赫兹（Hz）。

至此，人们知道三角函数有完美的频率。那么，一般函数的频率如何定义呢？比如上面提到的音乐信号和股市行情曲线。

最早在18世纪，科学家们在研究“弦振动”时，就遇到了类似的问题。当时问题的提法是 “任意函数能否被表示为三角函数之和？”直到19世纪初期，法国科学家傅立叶在热传导方程的研究过程中，第一次用比较严格的数学推导解决了这个问题。

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日-1830年5月16日），法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家。主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》，创立一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的发展都产生了深远影响。

下面让我们用一个例子，来说明傅里叶的理论。例如，这是一个周期性的矩形函数：

乍一看，它长得方头方脑的，与光滑流畅的三角函数似乎八杆子都打不着。难道它也可以等于三角函数之和？

我们先用2个三角函数相加（两个函数相加就是函数在同一时刻的值相加，为了画图方便，我们只画一部分），看看结果会怎么样：

噢！2个三角函数叠加以后有点像矩形函数了。

我们再追加一个三角函数，让3个三角函数叠加：

它更像矩形函数了。

我们再追加一个三角函数，让4个三角函数叠加：

结果已经非常接近矩形函数。其实，只要用不到10个三角函数叠加，就可以非常逼近大多数周期函数。因此，三角函数被称为是一种“基本函数”，简称“基函数”。后来科学家又给三角函数取了一个好听的名字——简谐函数。在不同的学科领域，简谐函数就引伸出了“简谐信号”、“简谐振动”、“简谐波”等等名词。究其原因，是三角函数始终以一种频率运动，显得简单、规矩、光滑、和谐。其它周期函数都包含着一系列三角函数，而一个三角函数就有一种频率，因此一般周期函数具有许多频率，比如我们刚刚举例的矩形周期函数（信号），它至少具有4个频率：

严格说来矩形函数有无限多个频率，因为其它频率的贡献都很小，工程上往往可以忽略它们。因此，唯有简谐信号是单频信号，一般周期信号都包含无限多的离散的频率，这些频率组成频谱，频谱中最低的频率，是对信号贡献最大的分量，因此将这个最低频率定义为一般周期信号的频率。

我们再来看看，非周期函数有没有频率？首先，我们根据傅里叶的算法，计算周期信号的周期变大后，它的频谱如何变化。如图：

从图中可以看出，周期为T的信号其频谱包含了一系列“离散”的谱线，谱线间隔为1/T。周期T越大，谱线越多越密，当周期T很大很大时，频谱间隔1/T就会非常非常小，以至于相互“粘”在一起。非周期信号就等于是周期无限大的信号。因此，非周期信号具有连续的频谱，而且，这个连续频谱的范围延伸至无穷。因为无穷无尽，图没法画。也就是说，非周期函数的频谱无限宽，而频谱无限宽的信号是无法在实际通信系统中传输的！

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非周期信号具有连续的无限范围的频谱，其频谱宽度的定义是根据工程需要人为截取的。非周期信号的频率连续地分布在零赫兹与最高频率之间只是一种满足工程需要的近似。

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关于频率的理论与应用，至今仍然是活跃的研究领域。频率不仅在通信领域十分重要，而且在所有自然科学领域都至关重要。例如频率的多普勒效应。

我们大家都知道位置、时间、速度是基本的物理量，通过这篇短文，读者朋友又对一个基本量——频率有了更深的理解。而首先将速度与频率联系起来的是奥地利科学家多普勒。

1842年，多普勒发表了一篇研究双星颜色变化的论文，文中他推导出当星星和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的星光的波长会改变。示意如图：

从一个点源辐射的波，在其运动方向被压缩，而在其运动的相反方向则被拉伸；只有与运动方向垂直时，波长才不会受到影响。物体运动速度越快，这种效应就越明显。频率与波长成反比，所以波长被压缩得越严重，它的频率就越高，反之亦然。因此，频率的偏移与物体运动速度成正比。

那么，频率又如何测量呢？首先，我们来看看两个简谐信号相乘。所谓两个信号相乘就是指它们在相同瞬时的值相乘，如图：

相乘以后的信号既会具有两个信号频率相加的频率成分，又会具有两个信号频率相减的频率成分，用低通滤波器滤除两个信号频率相加的成分（高频率），就可以留下两个信号频率相减的频率（低频率）。假如我们用一个已知频率的信号与未知频率的信号相乘，滤除高频成分测出低频成分的值，就可以算出未知频率信号的频率。

人们可以通过测量运动物体发生的频率偏移，利用多普勒效应获得运动物体的速度。多普勒效应至今还广泛应用于速度测量（如车速监测）、医学诊断、雷达探测、射电天文、天体物理等许多领域。