【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第二章三角形——等腰三角形

§2-5等腰三角形的性质

【01】如果我们画一个等腰三角形，把它折迭起来，使它的两腰重合，再把它摊开（图2·22），研究一下这条折痕与三角形的其他元素有些什么关系。

        (1) 折痕和两腰所成的两个角怎样？

        (2) 被折痕分开的底边的两部分怎样？

        (3) 折痕和底边相交所成的两个角怎样？

        (4) 等腰三角形的两个底角怎样？

【02】如果我们根据轴对称图形的性质来研究上述的这些问题，就可以得到下面的性质：

【03】定理1：等腰三角形有一条对称轴，对称轴在三角形内部的那条线段，是顶角的平分线，也是底边上的中线和高。

【04】从定理1可知，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高，这三条线段是合而为一的。

【05】定理2：等腰三角形的两个底角相等。

【06】要证明定理1和2的正确性，我们只要沿着图2·22的折痕再折迭起来，就可以明显地看到：∠BAD 和 ∠CAD 是完全重合的，

        因此 ∠BAD＝∠CAD，

        所以 AD 就是顶角 ∠BAC 的平分线。

        又 BD 和 CD 是完全重合的，

        因此 BD＝CD，所以 AD 是 BC 上的中线又 ∠ADB 和 ∠ADC 是完全重合的，

        而且 ∠ADB＋∠ADC＝2d（邻补角），

        因此 ∠ADB＝∠ADC＝d，所以 AD 又是 BC 上的高。

        同样，等腰 △ABC 的两个底角也相等，就是，∠B＝∠C  。

【07】我们从上述定理，又可以推出下面的性质。

【08】定理3：两个有公共底边的等腰三角形，它们的顶点连结线是它们公共的对称轴。

【09】如图2·23中的 △ABC 和 △A'BC 的公共的底边是 BC，又 AB＝AC，A'B＝A'C，那末直线 AA' 就是它们的对称轴。

【证】因为等腰 △ABC 和等腰 △A'BC 的对称轴 AM 和 A'M 都经过 BC 的中点 M，而且都垂直 BC（定理1），但是过 BC 中点 M 只能画一条直线垂直于 BC，因此可知它们的对称轴 AM 和 A'M 都在直线 AA' 上所以直线 AA' 是它们公共的对称轴。

【注意】上面的三条定理很重要，必须彻底理解，它们对于下一节的作图用处很大。

【10】轴对称图形有两种情形：

        (1) 一个图形本身是一个轴对称图形，例如等腰三角形。

        (2) 两个图形关于一直线为对称的轴对称图形，例如§2-4的图2·20  。

【11】不管是上述的那一种轴对称图形，对称轴总是一条直线，而不是一条线段。

例1.等边三角形的每一个内角都等于60°。

【已知】△ABC 是一个等边三角形（图2·24）。

【求证】∠A＝∠B＝∠C＝60°  。

【分析】因为等边三角形是等腰三角形的特例，从等腰三角形的底角相等的性质，可知 ∠B＝∠C，∠C＝∠A，就是 ∠A＝∠B＝∠C  。又因三角形内角和等于 180°，所以可证得每一内角等于60°。

【证】因为 AB＝AC（已知），

        ∴ ∠B＝∠C（等腰三角形的底角相等）。

        ∵ AB＝BC（已知），

        ∴ ∠C＝∠A（等腰三角形的底角相等）。

        ∴ ∠A＝∠B＝∠C  。

        但是 ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和），

        ∴ 3∠A＝180°，∠A＝60°  。

        也就是 ∠A＝∠B＝∠C＝60°  。

例2.等腰三角形顶角的外角的平分线，平行于它的底边。

【已知】在 △ABC 中，AB＝AC，BAD 是一直线，又 AE 是 ∠DAC 的平分线（图2·25）。

【求证】AE // BC  。

【分析】要证明 AE // BC，只要证得 ∠1＝∠B（或者∠2＝∠C），但已知 AE 平分 ∠DAC，因此 ∠1＝∠2，又 AB＝AC，可知 ∠B＝∠C  。而 ∠DAC 是 △ABC 的外角，所以有 ∠DAC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠C，从此得出 ∠1＝∠2＝∠B＝∠C  。

【证】AB＝AC（已知），

        ∴ ∠B＝∠C（等腰三角形的底角相等）。

        又 ∠DAC＝∠B＋∠C（外角等于不相邻两内角之和），

        但 ∠1＝∠2（AE是角平分线），

        ∴ ∠DAC＝2∠1＝2∠2＝2∠B＝2∠C  。

        就是 ∠1＝∠2＝∠B＝∠C，

        ∴ AE // BC（同位角相等；或者内错角相等）。

例3.已知等腰三角形的顶角是80°，求一腰上的高与底边所成的角的度数（图2·26）。

【已知】AB＝AC，∠A＝80°，BE⊥AC  。

【求】∠1  。

【解】∠C＝(180°－80) ÷ 2＝50°  。

        又在 △BEC 中，因为 BE⊥EC，可知 ∠1＝90°∠C＝90°－50°＝40°  。

        答：∠1＝40°  。

例4.钢板上有两条槽 AB 和 MN（图2·27），要在槽 MN 的一旁锉一条槽，使它和槽 AB 关于轴 MN 对称。把这条槽画出来。

【解】因为钢板不能折迭，我们可以根据轴对称图形的性质 1，先画出 A 和 B 关于 MN 的对称点 A' 和 B'  。

        就是从点 A 画 AO⊥MN，引长 AO 至 A'，使 OA'＝AO，那末 A' 就是 A 的对称点。同样画出点 B 的对称点 B'  。再画出槽 A'B' 就是了  。

例5.在已知直线 l 的同旁有两点 A 和 B，求在 l 直线上取一点 P，使 AP＋PB 最短。

【已知】A，B 是直线 l 的同旁的两定点（图2·28）。

【求作】在直线 l 上取一点 P，使 AP＋PB 最短。

【作法】过点 A 作 AM⊥ l，延长 AM 至 A'，使 A'M＝AM，连结 A'B 线段，并和直线 l 相交于点 P，连结 AP 线段。则这个点 P 就是所求的点。

【证】从作法可知 AM⊥ l，AM＝MA'，因此点 A' 和 A 关于直线 l 对称。点 P 在直线 l 上，所以 A'P 和 AP 也关于直线 l 对称，就有 A'P＝AP（对称图形性质2）。

        因此 AP＋PB＝AP＋PB＝A'B  。

        我们来证明 AP＋PB 最短。不妨在直线 l 上随便再取一点 P'，并连结 AP' 和 BP'，只要证得 AP'＋BP'＞AP＋PB 就可以了。

        连结补助线 A'P'，因为点 P′ 在直线 l 上，所以有 A'P' 和 AP' 是关于直线 l 对称的线段，于是 A'P'＝AP'（对称图形性质2），

        就有 AP'＋P'B＝A'P'＋P'B  。

        但是在 △A'BP' 中，A'P'＋P'B＞A'B（三角形两边之和大于第三边），

        就是 A'P'＋P'B＞AP＋PB（∴ A'B＝AP＋PB）

        这祥，就证明了 AP＋PB 是最短的了。

习题2-5

1、举出日常生活和生产实际中轴对称图形的例子。【建筑物的图样如天安门和人民大会堂，人脸的正面照相，乒乓板等等】 

2、把一个水平放置的图形对着一面直立的镜子，在镜子里可以看到怎样的图形？【和它相同的图形】

3、钢板上有三个眼 A、B、C，C 在直线 AB 的一旁，要在直线 AB 的另一旁打一个眼，使它和点 C 关于直线 AB 对称。怎样把这个眼的位置定下来，并在图上画出。

4、用红纸剪一个大“囍”字，怎样利用轴对称性质把它剪出来？

5、以已知直线为轴，画出已知线段的轴对称图形。

6、以已知直角三角形斜边所在的直线为对称轴，画出它的轴对称图形。

7、试求下列图形的对称轴：(1)两点；(2)角；(3)线段。

【如图】

8、一个等边三角形有几条对称轴？【有3条，在每一个内角的平分线上】

9、等腰三角形的一底角等于 70°30'，求它的顶角。【39°】

10、等腰三角形的顶角如果是 60°，那末它的底角是几度？【60°】

11、等腰三角形一腰与另一腰上的高所成的角比底角小 2d/9  。求等腰三角形的各角。【4d/9，7d/9，7d/9 】

12、通常屋椽 AB 和 AC 的长是相等的，如图，它们的夹角分别如下：(1)铁皮屋顶是 120°；(2)沥青纸屋顶是 145°；(3)瓦屋顶是 100°  。就上面的情况分别求出屋椽与水平线 BC 所成的角。【(1)30°，(2)17°30'，(3)40°】

13、等腰直角三角形的每一个锐角是几度？【45°】

14、任意画一个等腰三角形，用三角板画出它的顶角平分线，并且说明画图的根据是什么[提示：利用等腰三角形的性质]

15、等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？【不能，如果底角是直角或钝角，则底角之和就已等于或大于180°】

16、AB，AC，DE 三直线的关系如图，已知 AB＝AC  。求证：(1) ∠1＝∠2：(2) ∠DBA＝∠ACE  。[提示：(1)先证明 ∠ABC＝∠ACB；(2)同(1)]

17、如图，AB＝AC，EB＝EC  。求证：∠ABE＝∠ACE  。

18、用一块等腰直角的三角板，在它的底边中点做一个记号 M，再从直角顶点悬下一个铅锤，把这块三角板的底边放在屋梁上，看悬线是不是经过记号 M，就能够检查屋梁的位置是否水平（如图）。这是根据什么道理？【等腰三角形底的中线必垂直其底】