紧度量空间

设X是集合，A⊂X，B是X的一个子集族，若∪B⊃A，则称B为A的一个覆盖。

若B的子族B0也是A的一个覆盖，则称B0为B的对于A的一个子覆盖。进一步，若B0是有限族，则称B0是B的对于A的一个有限子覆盖。

若假定（X，d）是度量空间，B中成员均为X的开（闭）集，则称B为A的开（闭）覆盖。

设（X，d）是度量空间，若X的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称X为紧度量空间，简称紧空间。

设Y是X的非空子集，若Y作为X的子空间是紧的，则称Y为X的紧子集。

紧性是拓扑性质。

设X是集合，F是X的一个子集族，若对任意有限的F1，F2，…Fn∈F，有F1∩F2…∩Fn≠∅，则称F有有限交性质。

设（X，d）是度量空间，则下列条件等价

 1     X是紧度量空间

2       X中每一个有有限交性质的闭集族的交非空。

3     X中每一个序列都存在收敛子序列。

4     X的任意由可数个元组成的开覆盖有有限子覆盖。