《几何原本》命题2.5【夸克欧氏几何】

命题2.5：

如果把一条线段先等分，再分成两条不相等的线段，那么不相等的两条线段构成的矩形，与两分点之间一段上的正方形之和等于原线段一半上的正方形

已知：线段AB，点C为AB中点，点D在AB上

求证：S矩形AD×BD+S正方形CD2=S正方形BC2

解：

在BC上作正方形CEFB

（命题1.46）

连接BE

（公设1.1）

过点D作DG∥CE或BF

（命题1.31）

过点H作KM∥AB或EF

（命题1.31）

证：

∵正方形CEFB中，BE为对角线

（已知）

∴S补形CDHL=S补形FMHP

（命题1.43）

∴S矩形CL×BC=S矩形BDPF

（公理1.2）

∵S矩形AK×AC=S矩形CL×BC

（已知）

∴S矩形AK×AC=S矩形BDPF

（公理1.1）

∴S矩形AK×AD=S磬折形NOP

（公理1.2）

∵正方形BDHM中，BD=DH

（定义1.22）

∴S矩形AK×AD=S矩形AD×BD

（命题1.34＆公理1.1）

∴S矩形AD×BD=S磬折形NOP

（公理1.1）

∵S正方形LEGH=S正方形CD2

（命题1.34＆公理1.1）

∴S矩形AD×BD+S正方形CD2=S磬折形NOP+S正方形LEGH

（公理1.2）

∵S磬折形NOP+S正方形LEGH=S正方形BC2

（已知）

∴S矩形AD×BD+S正方形CD2=S正方形BC2

（公理1.1）

证毕

此命题将在命题2.14中被使用