【解析几何】究竟有哪些“二级结论”要掌握？「上篇」| 小姚老师

既然隐函数也是函数，那就让我们按照研究函数的过程走一遍吧。

1、定义域和值域

    虽然是隐函数，但也别忘了自变量仍然是x，所以定义域依然是x的取值范围，会受到条件和函数本身的各种约束。同样的，值域就是y的取值范围。

     像x²/4+y²=1，就有x²/4=1-y²≤1，所以定义域是[-2,2]，同理可求出值域是[-1,1]。

2、奇偶性和单调性

    由于隐函数中的映射关系不唯一，所以一般不讨论它的奇偶性或者单调性。不过，从图像上来看，隐函数可以有对称性。

3、隐函数的导函数

    然而，没了单调性并不代表隐函数就不能求导，接下来的求导才是重头戏。 

不妨假设隐函数的隐含关系为：y=i(x)，

那么导函数就是：y'=i'(x)

那么i'(x)该怎么算呢？显函数中是对两边同时求导，隐函数也是如此：

还是这个椭圆方程x²/4+y²=1，

既然y=i(x)，代入就有：

x²/4+[i(x)]²=1，

这是一个关于x的复合函数。

根据复合函数的求导法则对两边进行求导：

x/2+2i(x)i'(x)=0，

其实就是x/2+2yy'=0，

化简得y'=-x/4y

类似地，其它隐函数也可以这么求导。

实战运用

1、切线

    和显函数一样，隐函数在某点处的导数值等于以该点为切点的切线斜率。根据这一性质，可以在已知切点的情况下来求某些图形的切线。

例1：

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1，P(x₀,y₀)是C上的一点，求过该点的切线方程。

通常做法是直接假设斜率然后解判别式，但这样计算量不小。

其实也可以从隐函数的角度解决，首先求导：

2x/a²+2yy'/b²=0

化简得y'=-xb²/ya²

所以切线的斜率k=-x₀b²/y₀a²

由点斜式：y-y₀=k(x-x₀)，代入k

化简得xx₀/a²+yy₀/b²=x₀²/a²+y₀²/b²

别忘了P在C上，所以x₀²/a²+y₀²/b²=1

因此切线方程为：

xx₀/a²+yy₀/b²=1

（严格来说应对斜率是否存在进行分类，此处略去）

这就是著名的椭圆切线方程了。同样的方法，还可以证明双曲线，抛物线的切线方程。

无论是怎么样的曲线，只要知道切点坐标，并且隐函数可导，就可以按照这个方法求切线方程。

2、最值

    求导除了可以解决切线，更重要的一个用途就是求极值，有了极值就能求最值。

例2：

已知x²+xy+y²=1，求y的取值范围。

不能直接把y单独放在一边，因为这是相当于一个关于y的二次方程，如果硬要分类把y解出来，再求导的话则会很麻烦。而数形结合的方法也失效了，因为从图像上看，这是一个歪了的椭圆。

 而条件明显是一个隐函数，所以应该用隐函数的方法解决。

直接求导：2x+y+xy'+2yy'=0（xy项的求导要用求导的乘法法则）

化简得：y'=-(2x+y)/(x+2y)

令y'=0，可知当2x+y=0时有极值

联立x²+xy+y²=1

解得y=±2√3/3

经检验，y=±2√3/3是y的最大、最小值

所以y的取值范围是[-2√3/3,2√3/3]

相比之下，隐函数求导的方法简单许多。如果下次给的是其他关系式，也可以尝试隐函数求导的方法。