【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep45】第二次结束习题

三道题这么多字，确定不是逗我？？？！！！

今天给这一波习题收个尾——

例9、11从方法到内容都很重要，尤其是结论，到了级数判别法部分十分有用，是要牢牢记住的。

例10更常见的方法是用均值不等式的办法。

例11是直接用例10的结论推导出。

32极限求法的例题

9.a^n/n^k，a>1，k>0——

这是一个极其经典的∞-∞型“不定式”，其中分子部分是指数函数对应的数列，分母部分是幂函数对应的数列，这道题采取了从简单到复杂，从特殊到一般的推理方式，也就是说，我们先解决一种最简单的情况然后把其他情况转化为这种情况的变体，用类似的思维方式解决，“化归思想”的应用。

首先我们观察到我们熟悉的a^n的形式，且满足a>1，n是自然数，显然满足我们一直强调的伯努利不等式的形式。

而n是自然数情形下的伯努利不等式是牛顿二项式展开简单推理——

1. a>1，所以可以令a=1+l——l>0；
   

2. 对于n>=3，a^n=（1+l）^n=1+nl+n（n-1）l^2/2+n（n-1）（n-2）l^3/6+……；

3. 显然展开式各项都大于0，所以对于l>0，我们可以丢掉后面若干项，然后得到一个（1+l）^n>……形式的不等式，这就是伯努利不等式的一般形式，而至于我们要取展开式的哪一项，取决于我们面对的具体问题——以这道题为例。

我们不妨先研究k=1时该“不定式”的情况，然后看看k取其他值时，能否得出类似的结论——

k=1时，数列即为a^n/n，a>1，k>0——

1. a>1，所以可以令a=1+l，则l=a-1——l>0；

2. 因为n趋向于无穷，所以我们可以得到n>=3时，a^n/n=（1+l）^n/n=[1+nl+n（n-1）l^2/2+n（n-1）（n-2）l^3/6+……]/n；

   ——这一步就很显然了，我们由有理分式函数对应的数列的讨论方法，显然有，分子展开式从第三项开始，指数都比分母高，这个数列显然是无穷大，我们选取最简单的一项——第三项进行比较即可；

3. 由2，n>=3时，a^n/n=[1+nl+n（n-1）l^2/2+n（n-1）（n-2）l^3/6+……]/n>n（n-1）l^2/2n=（n-1）l^2/2；

4. 由1、3，n>=3时，a^n/n>（n-1）l^2/2=（n-1）（a-1）^2/2；

5. 显然，数列{n-1}是无穷大，所以数列{（n-1）（a-1）^2/2}也是无穷大，于是数列{a^n/n}为无穷大。

0<k<1时，我们将其化归为k=1的形式即可——

1. a^n/n^k=[a^（n/k）/n]^k={[a^（1/k）]^n/n}^k；

2. a>1，所以a^（1/k）>1；

3. （由k=1的情况的讨论，）我们知道数列{[a^（1/k）]^n/n}为无穷大，于是0<k<1时，数列{a^n/n^k}为无穷大。

4. 同理，k>1时，数列{a^n/n^k}为无穷大。

综上所述，数列{a^n/n^k}为无穷大。——其中a>1，k>0。

注：

1. 二项式展开到哪一项显然是由a^n/n^k，k的数字决定的，比方说，我们算a^n/n时，只要讨论n>=2的情形就足够了，因为第三项就可以保证a^n对应的多项式一定比n^k次数更高了，不用展开到第四项，上面是为了看起来思路清晰而已，当然你取第四项比较也没问题；

2. 同理，如果谈论a^n/n^3，展开到第五项即可；

3. 这个思路也就是我们后面学习泰勒公式考虑展开到哪一项的依据。

10n^（1/n）——

我们之前学过一个类似的收敛数列{a^（1/n）}，那个时候我们是用伯努利不等式解决的，这里可以用类似的方法，唯一的区别就是这里我们要考虑牛顿二项式展开到哪一项——

1. 显然当n>=2时，n^（1/n）>1，令a=n^（1/n），则a^n=n；

2. 令a=1+l，则l=a-1=n^（1/n）-1，当n>=2时，a^n=（1+l）^n=1+nl+n（n-1）l^2/2+……；

3. 由1、2，a^n=n>n（n-1）l^2/2=[n（n-1）/2][n^（1/n）-1]^2，即1>[（n-1）/2][n^（1/n）-1]^2；

4. 由1、3，1<n^（1/n）<[2/（n-1）]^（1/2）+1；

5. 显然，数列{[2/（n-1）]^（1/2）+1}极限为1，由夹逼准则，数列{n^（1/n） }极限也是1 。

这一题更普遍的方法是用均值不等式——

1. （a1*a2*……*an-1*an）^（1/n）<=（a1+a2+……+an-1+an）/n；

2. 令ai=1，i=1,2，……，n-2，an-1=an=n^（1/2）；

3. 当n>=2时，n^（1/n）>1

4. 由1、2、3，得1<n^（1/n）<=[1+1+……+n^（1/2）+n^（1/2）]/n=（n-2）/n+2n^（1/2）/n=1-2/n+2/n^（1/2）；

5. 显然数列{1-2/n+2/n^（1/2）}极限也为1，所以数列{n^（1/n）}极限为1。

例11是例10的一个简单推论——

11（loga n）/n，a>1

我们看到两个n，利用对数函数的性质，直接转化——

1. 做一个简单的变形化归：（loga n）/n=loga n^（1/n）；

2. 如果极限满足运算律：对数的极限等于极限的对数，那么我们直接可以得到该数列为无穷小，但是我们之前只验证了极限的加减乘除，未验证极限对数运算的性质，所以不如猜测极限为0，然后归数列极限的定义——对任意小数r>0，我们要找到一个自然数N，使得当n>N时，|（loga n）/n|<r；

3. 由1、2知，要求得N，使得n>N时，n^（1/n）<a^r即可；

4. 我们已知，数列{n^（1/n）}极限为1，即对于任意小数r'>0，存在N'，使得n>N'时，|n^（1/n）-1|<r'，即n^（1/n）<1+r'；

5. 已知数列{a^r}为正无穷大，即对于数1+r'>0，存在N"，使得n>N"时，a^r>1+r'；

6. 由4、5，我们取N=max{N'，N"}，当n>N时，有a^r>1+r'>n^（1/n）；

7. 由2、3、6，可知，数列{（loga n）/n}为无穷小。

明天继续！