Electrostatics1
静电学的结论高中生都懂，但论证未必physically make sense。下面从第一层开始论证。
总的来说，一切结论都基于Maxwell方程+特定性的假设推导出来。Maxwell方程（严格地说再加上Lorentz力）永远是成立的，而特定性的假设则（至少在构建论意义上）超出Maxwell方程（比如说基于量子力学），并且总是近似的（见第三层）。
第一层
静电状态下的Maxwell方程以及Lorentz力：
Remark:
场。
静电场散度来自电荷的散发，没有旋度（暗示电势）。
通过场受力（局部的思想，这和广义相对论是一样的）。
这是第一性的原理。至于特定性假设，则会在不同情形下给出。
第二层
这一层是“比较基本/普适，但不是最基本的、由底层原理推出的”原理。
Coulomb定律
直接从第一个式子推出来，详见之前的笔记，不多说。
Remark: 2+\delta的可能性可以通过导体内部不带电排除。这个实验精度大概比直接分析电荷受力要高。
电势
这是静电场特有的物理量（对于含时电磁场，需要变成电磁四维势），来源于静电场的保守性（无旋）：
单从数学的角度来看，电势的引入把矢量场转化为标量场，刻画起来简单了很多（往小了说，做题的时候用电势会更简单）。而且静电问题可以转化为一个单纯的Poisson方程
再加上边界条件。这样静电问题就完全变成一个简单的数学问题。想要知道电场，求个梯度就完事了。
电多极子
多级展开：
对于重力场之类的也经常这么玩。在电磁学里面不太用得到，以后有空慢慢写。
Gauss定理
也就是Maxwell1的积分形式。用起来很方便，构造各种闭合曲面的技巧。积分形式虽然理论上来说跟微分形式等价，但是在处理不可微的问题的时候，微分形式必须要处理Dirac delta函数，但是积分形式仍然可以照常使用。
Poisson方程与解的存在唯一性
唯一性定理完全是一个数学上的结论。要说它有什么物理意义，恐怕不好说，但是至少用起来很方便。就像supercritical phase时候的唯一性一样，在技术上带来很多简便。
至于Poisson方程的边界条件是个问题。对于导体和电介质不同。对于导体，给定电势或者总电荷，都很容易求解。对于电介质，我们需要知道电介质在边界上的规律。它可以通过积分形式的Maxwell方程给出：
于是对于静电场，边界条件就是
只要建立了Poisson方程和边界条件，一个静电学问题就完全变成well-defined的了，接下来求解只是数学上的工作。
Poisson方程的解析解
能解析求解的也只有几个对称性比较好的例子。下面仅仅枚举一下，不给出具体过程。
均匀带电球壳
均匀带电球体
无限长细棒
无限大平面（这几个都可以直接用Gauss定理算）
无限大平面+点电荷（电像法）
导体球+点电荷（电像法）
球+均匀电场（求解Laplace方程）
...
电容
电容说起来是一个比较奇怪的物理量。首先不看特例，而formally看看电容到底如何定义。
我们定义的是mutual capacitance，而不是self capacitance。也就是说，我们考虑两个导体，上面带有相反等量的电荷Q。根据Laplace方程可以算出二者之间的电势差U(Q)。
Obeservation：U(Q)是Q的线性函数。这是因为，假设Q边界条件的时候Laplace方程的解为u，那么2Q边界条件的时候，2u也是Laplace方程的解，而根据解的唯一性，这就是唯一的解。
进一步，二者的比例系数完全取决的两个导体的几何结构。于是我们定义（互）电容C=Q/U，C(\Sigma)是取决于几何结构的量（capacitance is a purely geometrical quantity）。
为什么定义成Q/U而不是U/Q?因为电”容“想要表达的是能够容纳多少电量，一个U加上去能容纳多少Q。
关于电容器储能。简单积分之后知道电容器储能为1/2CU^2。这个能量是什么意思？它代表的是放电之后能够放出的总能量（即电子的电势能qU），而不是电场的能量。
因为我们说capacitance is a purely geometrical quantity，拿出这些例子来也许能看得更清楚：
电磁场的能量
电磁场的能量密度为
能流密度（Poynting矢量）为
它们满足能量守恒：
第三层
这一层则是我们一开始说的“特定性假设”。两个特定情况分别是：导体和电介质。
导体
导体给出的新条件就是其中的电子可以自由运动(1)。另外隐含的一点是，导体电荷分布会从非平衡态迅速达到平衡(2)，并且没有一些exotic behavior，比如极限环之类的。这两条就是所谓的“特定性假设”。除去这两条之外，对导体研究的其它逻辑都没有超出三条静电场公理。
一个remark：我们研究的都是均匀导体。从经典眼光看，非均匀似乎不会影响电子的自由移动。不过存在反例，比如Seebeck效应，两个有温差的导体会产生电动势。这是量子效应。所以为了严格起见，下面研究的全部都是均匀导体。
【结论1】导体内部没有电场，是等势体。
如果有电场就会导致电子移动，与平衡条件矛盾。这是最关键和根本的推论。
【结论2】导体内部没有电荷。
直截了当：
这也就是说，所有电荷都分布在表面。
【结论3】面电荷密度与场强的关系。
根据积分形式的第一公理，直接得到
电荷密度越大，场强越大。反过来，如果知道了场强，就直接知道了表面的电荷分布。
【结论4】曲率越大，电荷密度越大。
这是一个错误的结论，曲率和电荷密度之间并没有单调的关系。相同曲率的地方，电荷密度完全可以不同。但是经验性地，这个结论在很多时候挺对的，而且应用非常广泛。
对这个结论，一个近似的理解是用等位面。在远处，等位面接近于球形。逐渐靠近导体，等位面变成导体的形状。这个渐变过程中，突出的部位看起来会比较密。
一个应用就是尖端放电。
这里多扯几句，曲率和电荷密度的关系是错误的，那么有没有什么严格的关系呢？我查到一篇On the Dependence of Charge Density on Surface Curvature of an Isolated Conductor，不过没仔细看。不过里面至少提到一个结论：对于一类特殊的形状（比如椭球），电荷密度正比于Gauss曲率的1/4次方。一般这种幂律当然没法成立。
【结论5】空导体腔，内表面没有电荷，空腔内没有电场。
这个结论就不太直观了。首先我们知道导体内部没有电场，也没有电荷。内外表面之间画一个环面，就知道内表面上总电荷为0。但是我们要证明每个点都是0。假设有正有负，则空腔内部一定有非常数的电场。沿着一条电场线从内表面到内表面，电势一定有下降，这与等势体矛盾。
进一步，根据Laplace方程解的唯一性就知道空腔内没有电场。
电介质
电介质就是绝缘介质的另一个名字。它是导体的另一个极端，即完全不导电，就像完全竞争和完全垄断一样。我们能研究的只有这两个极端，至于连续统中间的部分，比如半导体，就完全超出了电磁学和Maxwell方程。相对于导体，我们对于电介质要陌生很多。
同样，我们要看，对于电介质，需要在Maxwell方程的基础上加上什么（近似/简化的）特定性假设。之后想干什么就都能干了。这种特定性假设必须从微观根源去看。
从微观根源来看，导体的价电子束缚很小，可以随意跑动。而电介质的电子受到束缚比较大，不能脱离原子。在外加电场的作用下，电子云只会改变概率分布，即极化。这个极化的大小当然取决于材料本身。如果分子本身一开始没有极性，那么在外加电场作用下只有电子的位移极化。如果本身有极性，比如水分子，分子还会改变排列方向，即取向极化。这都是极其直观的大致图像。
刻画极化，用的自然是电偶极矩密度，换个名字叫极化强度P。
根据守恒关系，极化强度与束缚电荷密度的关系为：
这不是什么物理规律，单纯是基于定义的套套逻辑（重言式）。因为你想，一个点有一圈偶极子向外指，这一点肯定是有净的负电荷。
如果是在介质表面（两种介质分界面），上面的式子不是well-defined（有突变，不可微了）。怎么办呢？解决方法当然是积分形式：积分形式就是为了方便处理微分形式的不可微情形的。其实在微分形式下也可以做，但是必须要处理delta函数。对于积分形式，就没有所谓delta函数了，直接积分积出来一个值。这种思想在电磁学里面处理分界面问题的时候经常用到。结果就是，介质与真空界面上的极化电荷（束缚电荷）面密度为
电介质上的束缚电荷产生的电场称为退极化场，它的方向总是起到减弱极化的作用。
对于电介质加上的“特定性假设”，就是P和E的关系，即极化规律。最简单的就是线性电介质：
其中的\chi_e为极化率，是材料本身的性质。一般来说极性分子的取向极化会大于非极性分子的位移极化。
极化率\chi_e是无量纲的。我们定义相对介电常数\epsilon_r=1+\chi_e，r表示relative to vacuum。而绝对介电常数则为\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r。这只是个定义，不过这三个物理量之间的关系还是要搞清楚。真空的相对介电常数为0，完全没有极化。而对于电介质，“介电”能力大于0，相对介电常数大于1。
这样一来，电介质中的静电学规律就完全清楚了：Maxwell方程（加上束缚电荷项）+极化规律。
为了方便求解，我们通常会引入一些辅助性的物理量。因为我们不知道束缚电荷到底是多少，只知道自由电荷，所以引入电位移矢量：
则三条公理可以改写为：
前两条方程照样按照Poisson方程就可以求解，解出来把电位移矢量代到第三个方程里就得出E。
这样看来电位移矢量单纯就是一个技术性辅助量，如果要说它有什么物理意义，我觉得非要说也说不出来。
