【数学基础137】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（六）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&2.一阶微分方程

&2.4可降阶的二阶线性方程

先把之前聊过的内容复习一下——

线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。

原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。

非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。

二阶线性微分方程——形如F（x，y，y'，y''）=0的微分方程。

特别的，有两种形式的二阶线性微分方程可以降阶成一阶线性微分方程，今天先说第一种。

类型一：若方程不显含未知函数，即F（x，y'，y''）=0。

解法——

1. 令y'=p，所以y''=p'；

2. 原方程化为F（x，p，p'）=0。——化为了一个关于x、p的一阶微分方程；

3. 我们解出p，再对p进行积分即可。

例子——解方程xy''+y'=4x

解——

step1.先将目标方程化为一阶线性方程——

1. 令y'=p，所以y''=p'；

2. 原方程化为xp'+p=4x；

3. 将2中方程左右同乘1/x：dp/dx+p/x=4——一阶线性微分方程，其中P（x）=1/x，Q（x）=4。

step2.找出该一阶线性微分方程对应的齐次方程dp/dx+p/x=0的通解——

1. 移项可得：dp/p=-dx/x；

2. 两边积分：ln|p|=ln1/|x|+C1；

3. 因为C1为任意实数，可以取到适当的C1，使得p=c/x。

step3.找出该一阶线性微分方程的一个特解——

1. 设特解p=u（x）e^（-∫ P（x）dx）=u（x）/x——其中u（x）为关于x的未知待定函数；

2. 由1，dp/dx=[xu'（x）-u（x）]/x^2；

3. 将1,2代入原方程：dp/dx+p/x=[xu'（x）-u（x）]/x^2+u（x）/x^2=u'（x）/x=4；

4. 由3，u'（x）=4x，即u（x）=2x^2+C2——其中C2为任意常数，为了方便，我们取C2=0；

5. 综上，求出该方程一个特解p=2x。

step4.将a中的通解与b中的特解相加即为该方程的通解——

解得p=2x+c/x。

step5.由p解得y——

1. y'=p=2x+c/x；

2. 两边积分：y=x^2+cln|x|+c'。

类型二：方程中不显含自变量，即F（y，y'，y''）=0。

解法——

1. 令y'=dy/dx=p，所以y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=pdp/dy；

2. 原方程化为F（y，p，pdp/dy）=0。——化为了一个关于y、p的一阶微分方程；

3. 我们解出p，再对p进行积分即可。

例子——解方程y''-e^（2y）=0，yx=0=0，y'x=0=1

解——

1. 令y'=dy/dx=p，所以y''=pdp/dy；

2. 原方程化为pdp/dy-e^（2y）=0；

3. 移项分离变量：pdp=e^（2y）dy；

4. 两边积分：p^2/2=e^（2y）/2+C1；

5. 由初值条件，将x=0代入上式，1/2=1/2+C1，得C1=0；

6. 由4，5得，    p^2=e^（2y），解得p=e^y或p=-e^y；

7. 若p=e^y，即dy/dx=e^y，e^（-y）dy=dx，积分得-e^（-y）=x+C0；

   将初值条件代入上式得，C0 =-1；

   即-e^（-y）=x-1；

8. 若p=-e^y，即dy/dx=-e^y，-e^（-y）dy=dx，积分得e^（-y）=x+C0；

   将初值条件代入上式得，C0 =1；

   即e^（-y）=x+1。