平行公设与非欧几何，圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角

欧几里得177、平行公设与非欧几何，圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角

 

公理

…公、理、公理：见《欧几里得1》

 

1.等于同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量减等量，其差相等；

4.彼此能完全重合的物体是全等的；

5.整体大于部分。

 

公设

…设、公设：见《欧几里得153》…

 

1. 过两点能作且只能作一直线；

…直、直线：见《欧几里得175》…

 

2. 线段（有限直线）可以无限地延长；

 

3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；

 

4.凡是直角都相等；

 

5.同平面内，一条直线和另外两条直线相交。若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。（近代数学不区分公设，公理，统一称为公理）

——以上选自《几何原本》 第一卷《几何基础》

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

 

最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。

 

目录介绍

欧几里得的《几何原本》共有十三卷。

第一卷：几何基础

重点内容有三角形全等的条件（全等三角形判定定理），三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理（又称毕氏定理）的正逆定理；

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…毕达哥拉斯定理：即勾股定理…

…勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方…

 

第二卷：几何与代数

讲如何把三角形变成等积（等面积）的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。

 

第三卷：圆与角

本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。

…阐、述、阐述：见《欧几里得153》…

…圆：一种几何图形。在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆…

…弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦…

…切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…

…割线：一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线…

…圆心角：圆心角是指在中心为O的圆中，过弧AB两端的半径构成的∠AOB， 称为弧AB所对的圆心角。圆心角等于同一弧所对的圆周角的二倍…

…圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角…

 

第四卷：圆与正多边形

讨论圆内接四边形和外切多边形的尺规作图作法和性质。

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

 

第五卷：比例

…比、例、比例：见《欧几里得29》…

 

讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论，被认为是“最重要的数学杰作之一”。

…欧多克斯：见《欧几里得102》…

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

 

第六卷：相似

讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。

 

“如果变量x逐渐变化，趋近于定量a，即它们的差的绝对值可以小于任何已知的正数时，定量a叫做变量x的极限。可写成x→a，或limx=a。如数列1/2，2/3，…，的极限是1。

请看下集《欧几里得178、极、限、极限，极限思想》”

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