很水的数学分析113：拓扑空间

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1.拓扑、拓扑空间的定义。

①拓扑实际就是开集系，只不过这里的“开集”是广义的“开集”。（例如IR中半开半闭区间在拓扑意义下也是开集）

②τ中的元素叫开集，开集的补集是闭集。存在既开又闭的集合，也存在既不开也不闭的集合。

2.各种空间的包含关系示意图（“4足球1橄榄球”）

3.两个平凡的拓扑：

①离散拓扑：P(x)。“敲的粉碎”。

②密着拓扑：｛X,∅｝。“混沌未开”。

4.可度量化（正好借助“3”说明）

①可度量化的例子：离散拓扑由离散度量诱导。

IRⁿ中通常度量下单点集是闭集，然而在离散度量下，任一单点集都可以找到等价邻域，从而任一单点集是开集，从而是离散拓扑。

②不可度量的例子：｜X｜＞1的密着拓扑。

由于度量公理要求x≠y时，d(x,y)＞0，故取r=1/2d＞0，则在任何度量下单点集都有等价邻域，从而是开集，从而与密着拓扑矛盾。

5.拓扑的强弱（从X是三点集的例子展示｛τ，⊆｝不是全序集）

6.有限补拓扑

①别忘∪∅

②证明依靠de Morgan律