《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
P4 1.3 行列式按行展开
拉普拉斯定理
P5 1.4 行列式的计算（一）
P6 1.4 行列式的计算（二）
三叉戟行列式(对，我故意的)
加边变三叉戟
加边不能改变原行列式的值 《在实际生活中很少运用》
做法如图↓
类三叉戟→三叉戟→上三角
字母要注意题目说没说不等于0，不然不能直接把字母做分母
范德蒙德行列式
格式↓
行列式转置：值不变
反对称行列式and对称行列式
格式如下↓
反对称行列式，奇数阶，D=0
偶数阶如法炮制得到D=D，没啥卵用
P7 1.5 克莱姆法则
只适用方程的个数=未知量的个数
克莱姆法则的解题过程
克莱姆法则计算量巨大，一般不用QAQ
它比较适合计算机
假设右边的常数项全为0，叫齐次方程
齐次方程至少有零解（全为0的解）
定理二：齐次方程，且方程个数=未知量个数，D≠0，只有零解
用克莱姆法则去证明
齐次方程（方程=未知量）有非零解 == D=0
P8 2.1 矩阵概念
矩阵的应用
《贵圈真乱》
矩阵的定义
行列式是一个数，而矩阵是一个数表，这个一定要分清
行列式一定是方的，矩阵不一定
“其实行列式是方阵的一个属性”
各种类型的矩阵
实矩阵和复矩阵我们这儿好像没有这种说法
负矩阵、方阵、单位阵、同型矩阵
矩阵相同的前提是同型矩阵
两个零矩阵一定相等嘛？
nope，它们的形状不一定相等
如果是方阵，还是可以叫主对角线和次对角线
不是方阵就没有
P9 2.2 矩阵运算（一）
显然，只有同型矩阵才能相加减（包括那个零矩阵）
矩阵的数乘和行列式的不一样，行列式的数乘只是其中以行（列）加倍
矩阵相乘
矩阵乘法颠覆常识，因为矩阵强调左乘右乘
可交换的矩阵一定是同阶方阵
e.g.
将方程组转换成矩阵求x1和x2
P10 2.2 矩阵运算（二）
注意：一般都不相等，因为AB！=BA
介个可以，因为AE=EA（注意A得是方阵啊）
e.g.
女少口阿
转置的性质
P11 2.3 特殊矩阵（均为方阵）
数量矩阵：主对角线元素相等，其余地方为0
对角形：主对角线元素为a1、a2到an，其余为0
对角形矩阵可以用diag表示
左行右列
对称阵和反对称阵
对称矩阵90%要用到的结论： A的转置=A
AB的转置不等于AB
定理一：A、B都是同阶对称矩阵，AB也是对称矩阵 即 AB可交换
e.g.
证明对称→就是证明A的转置=A
反对称要主对角线元素全为0
A的转置=-A
P12 2.4 逆矩阵（一）
永远不要把矩阵放在分母上
方阵的行列式
性质
e.g.
一个数在里面向外提要提n次
伴随矩阵
只有方阵才有把伴随矩阵
“按行求，按列放”
对任意方阵都成立
P13 2.4 逆矩阵（二）
任何方阵都有伴随矩阵（√）
一个题：
挺有意思
逆矩阵
定理：A可逆的充要条件是|A|！=0，后面见图，打不出来
求逆矩阵的方法
e.g.
这一步，首先，提2出来的时候要加一个E，然后x在右边，提取出来后也只能放在右边
后面乘A-2E的逆也是，必须两边都是左乘
但是。。。
A-2E一定可逆嘛？？？
∴要补一句话，判断是否可逆，即行列式是否不等于0
（5）和（6）告诉我们，求逆用初等变换，别想些有的没的
性质：
这两个公式（2）（3）都是普适的，没有条件
P14 2.5 分块矩阵
分块不能乱分，一般按行分或按列分
标准形
标准型不一定是方的
倒数二三个不是标准形
前提是它们能够相乘
基本不用背，都知道
e.g.
同学想法：经典的错误，标准的零分(´･_･`)
分块矩阵求转置
e.g.
拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和等于D
然后求解
注意：矩阵中 BX4=0 推不出 B=0或X4=0
分块矩阵推论：
P15 2.6 初等变换（一）
《两者没有任何关系》
《但是还是有一点关系》
A是方阵的时候，A的行列式和A的初等变换的行列式有关系
任何矩阵都可以通过初等变换化为标准形
等价的性质：
P16 2.6 初等变换（二）
初等方阵：
初等变换和初等方阵
初等变换是过程，初等方阵是结果
左行右列
一般涉及初等变换都会转化成左（右）乘，尤其是证明题
e.g.证明题
A可以通过初等行变换和初等列变换化为标准形，所以存在
推论
P17 2.6 初等变换（三）
只做初等行变换
A | E → E | A逆
注3：某列处理后，其对应行不再主动参与运算
注4：注意符号为 → 而非 =
就是上面那个矩阵，化出来 0 0 0 ，不可逆
因为矩阵行列式 = 0 ，第二行和第三行成比例
P18 2.7 矩阵的秩（一）
k阶子式定义：
《非零子式的最高阶数》
P19 2.7 矩阵的秩（二）
《降 智》
A是满秩方阵，那么A的行列式不为0，所以A可逆
例子中，
5阶的子式是四阶代数余子式，四阶都为0，所以5阶都为0
★★★ 阶梯形
例如下面这个矩阵0的个数没有严格增加，∴不是阶梯形
《三 步 宋 你 走》（bushi
求秩：首非零元数 = 非零行行数 = 矩阵的秩
初等变换不改变矩阵的秩
so，怎么求秩捏？
将A通过初等行变换化为阶梯形，求非零行的行数
e.g.
r(A) = 3
性质：
性质2我们是不用的，一般用第三行那个
就是矩阵通过一系列初等变换，秩不变
应该用在求秩的时候，把A化成阶梯形的时候，要初等变换很多次，其秩是不改变的
附上打油诗一首↑
P20 3.1 n维向量及其运算
vector
两个向量相等：设两个n维向量，如果它的对应分量都相等，则这两个向量相等。（同维相量）
P21 3.2 向量间的线性关系（一）
线性组合：
k是组合系数，可以全为0的
就是用一些向量（向量组）通过加减、数乘来表示目标向量
一些重要结论
e.g.
向量组的等价
（1）反身性
（2）对称性
（3）传递性
顺便回顾一下矩阵的等价：
A经过初等变换得到B 即 A和B等价
P22 3.2 向量间的线性关系（二）
线性相关与线性无关
线性相关和无关这块注意可能考证明题
什么时候一定线性相关？
e.g.
第二排前半句条件，后半句是要你证明
下面是证明过程
然后得出第一排的结论
开 始 绕 了
整个向量组都没关系，那你随便怎么从中取向量，都不会有关系啊
（强扭的瓜不甜（bushi）
你前三个方程都只能是k全为0才有解，后面的看都不用看，对吧
∴线性无关的向量组，它的接长向量也无关
同理，线性相关的向量组，它的截短向量组也相关
向量的个数等于向量的维数
（11）n维单位向量组线性无关
相关：k有非零解
无关：k只有零解
前面讲的线性组合只要求有解就可
而线性相关要求必须有非零解
e.g.
P23 3.2 向量间的线性关系（三）
一套动作行云流水，反过来证明了α是线性相关（至少有一个-1不为0）
再证明唯一性：
经典假设不唯一，得相等，即为唯一
替换定理
向量个数大于向量维数，必定相关
推论：两个等价的线性无关组（A能用B表示，B也能由A表示）含向量个数相同
P24 3.3 向量组的秩（一）
极大线性无关组
尽可能少的留下数据，但能表示全部信息
因为如果α1，α2相关，那α1也能用α2表示了
极大的含义是，若只有α1和α2，那么这个向量组里最多选择两个向量线性无关，再多一个就线性相关了
一个向量组的极大无关组是这个向量组的所有线性无关组中所含向量个数最多的一个
定理：
1.全是零的向量组没有极大无关组
2.一个线性无关的向量组，它的极大无关组就是它本身
极大无关组不一定唯一，但所含向量个数一定一样
向量组的秩
s是向量组的向量的个数
∴修改为↓
女少口阿
若这两个向量组等价，则秩相等
P25 3.3 向量组的秩（二）
矩阵的行秩和列秩
行秩就是行向量组的秩，列秩就是列向量组的秩
行只有三行，秩最多只有三
列虽然比较多，但列向量是三维，秩最大还是三
证明就不展开了
例子中的1 和 1包含了改矩阵的所有信息，又可以看成是1 和 1所在的两行，也可以看成是它们所在的两列，即该矩阵的秩
推论和题型
最重要的题型
题型：求向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组来表示所有其余向量
首先：
对矩阵A仅做初等行变换，化成矩阵B，那么A的列向量组与B的列向量组有完全相同的线性关系
线性关系：线性相关或无关
e.g.
女少口阿
好了，上题目
卧槽！
P26 4.1 线性方程组
线性方程组解方程
P27 4.2 线性方程组有解判定
系数矩阵和增广矩阵
m是方程个数，n是未知量的个数
不相等直接0=1，无解
挪右边记得变号
做题的时候可以把第一个和最后一个增广矩阵的最后一列画虚线，标记一下
参数不能确定是否为0，要先进行讨论然后才能把参数放分母
P28 4.3 齐次方程组的解
齐次方程组最少有零解
P29 4.4 方程组解的结构（一）
找出一部分解，可以表示全部的解 → 基础解系
基础解系就是极大线性无关组
解题过程
证明
e.g.
⭐⭐⭐
P30 4.4 方程组解的结构（二）
性质
e.g.
总结
e.g.
P32 5.1 矩阵的特征值和特征向量（一）
特征值与特征向量定义
注意A必须是方阵，λ是一个数
λ是一个数，所以不能直接减一个方阵，要乘一个E
Misery：解特征方程
结论：
一个特征值可以对应无穷个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值。
证明：
P33 5.1 矩阵的特征值和特征向量（二）
解题过程+一些技巧
求出λ（特征值）
求特征向量
下面是一个题完整的解题步骤
首先，个人认为换成 |A-λE| 更好，避免算错
结论：n阶对角形矩阵的特征值就是主对角线的n个元素
P34 5.1 特征值和特征向量的性质
练习
没错，特征向量就是右边那个
⭐️⭐️性质一
注意：特征值一样，但特征向量不一定相同
（零颗星）性质二
⭐⭐⭐性质三
证明过程
主对角线的和叫“迹”（虽然只用了这一次，但还是写出来了）
性质四
单个的o向量是线性相关，单个的非零向量是线性无关
性质四证明过程：
性质五
结论：不同特征值的无关的特征向量之间都线性无关
性质六
K重特征根对应的线性无关的特征向量个数小于等于K
其他性质
?
e.g.
P36 5.2 相似矩阵和矩阵可对角化的条件
相似矩阵
反身性，对称性，传递性（似曾相识的性质）
性质一：
逆命题不成立：特征值一样不一定相似
性质二：
性质三：
注意右边那个叉叉QAQ
正确做法↓
最后得出结果
注意：A和B的秩也是一样的
左边题的做法
对角形就是只有对角线上有数字，其他位置都为0
期末题目：
定理：
这个定理也就选择题用用，因为要求秩，对后面的求特征值特征向量没啥用
(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)!?
P37 5.3 实对称矩阵的对角化（一）
前面讲的是必须有n个线性无关的特征向量才能对角化
所有的实对称矩阵都能对角化
一些定义
内积
内积是个数
向量模
P38 5.3 实对称矩阵的对角化（二）
模的性质：
朝外提一个数k记得加绝对值
- 柯西-施瓦玆不等式
- 正交
注意：正交向量组不含零向量
定理＋证明
证明的时候注意正交向量组不含零向量
施密特正交化
咱也不知道为什么
寄就完事 记就完事
P39 5.3 实对称矩阵的对角化 （二）
性质：
定理+证明：
注意分块矩阵怎么转置的
先行向量变列向量，再每个块转置
━━━∑(ﾟ□ﾟ*川━
例题：
━━━∑(ﾟ□ﾟ*川━ *2
实对称矩阵的对角化
定理：实对称矩阵A的不同特征值的特征向量正交
普通矩阵:不同特征值对应的特征向量一定线性无关
定义：正交相似
正交矩阵一定可逆，甚至逆矩阵是谁都知道了（A逆=A转置）
所以正交相似一定相似
n阶实对称矩阵A的每个特征值入i的重数ki等于对应的入i的线性无关特征向量的个数
注意普通矩阵对角化要满足一定条件（有n个无关的特征向量），但实对称矩阵一定能对角化
做题过程
QAQ
先前讲过，实对称矩阵的这些单根对应的特征向量已经是正交了，所以不用史密斯正交化
有重根的，只有重根对应的特征向量需要正交化
然后再单位化
一道例题的过程
P40 6.1 二次型定义
判断：第一个有三次，第二个不是，第三个有常数
二次型→矩阵表达式
女少口阿
二次型的矩阵一定是对称的（A的转置 = A）
注意有坑，下面这个题不是二次型矩阵，不要看着像是对称的，上来就背做法
然后改一下就是二次型了
标准型定义
标准型的系数还可以取0
线性替换
如果C可逆，叫可逆替换（非退化替换），C不可逆就是退化替换
就是说可能需要做两次替换
验证了B（C转置AC）是对称的
合同
定义
性质
反身性，对称性，传递性 （似曾相识燕归来……）
脑梗：P1、P2不一样
性质
其实都挺好证的（就用C转置AC = B就行）
可逆那个看一下↓
矩阵的关系：等价、相似、合同
转置和本身相乘得E就是正交（且 A的转置=A逆）
正交相似一定是相似，也一定是合同
相似、合同、正交相似一定等价
P41 6.2 二次型化标准型（配方法）
第三种方法和之前的是对称矩阵对角化一模一样
配方法
先x1，再x2，最后x3
算出来之后，用y表示x QAQ
《只有交叉项的》
《只有交叉项，还™四个变量》
固定技巧
P41 6.2 二次型化标准型（初等变换法和正交替换法）
对A、E做同样的初等列变换
只对A做相应的初等行变换
什么是“相应的”？
之前做的什么列变换，之后就做什么样的行变换
注意一次列变换紧跟着一次行变换
然后就可以得到对角形辽
e.g.
A化为标准形，下面得到C
规范形
第三个不是，x3无了，说明它的系数是0，不是规范形格式
惯性定理：任意一个二次型都可以通过非退化的线性替换化成规范形
正惯性指数：简称正惯数，是 线性代数 里 矩阵 的正的 特征值 个数，也即是规范型里的系数"1"的个数。
负惯性指数
↑一般考个填空题
合同的充要条件：相同的秩，相同的正（负）惯性指数
正交替换
似曾相识燕归来
一般出题老师不辩太的话，不会出这个的，计算量太大了
P43 6.3 有定性
各种“定”的定义
有定的
正定（恒大于零），半正定（大于等于零）
负定（一定是负的），半负定（小于等于零）
还有不定的，有正有负的
这个题有坑，没说原来到底有几个x，所以不知道有没有x前面的系数为0
e.g.
↑正定就是x前面的系数均大于0
P44 6.3 有定性的判别
这个结论其实用的不多
下面这些结论用的多一点
这些都是充要条件
后面这个是充分条件
又来一个充要条件
各阶顺序主子式（下面那一坨）
画圈那个是充要条件
e.g.
性质
A正定，A逆也正定
∵A的特征值都是正的，∴A逆的特征值（A的特征值取倒数）也都是正的
A正定，A*也正定
同样是用特征值证明的
3.A正定，A的k次方也正定
用的合同
主对角线元素大于0，只能正推，主对角线大于0不一定A正定
上面是证明过程
P45 7.1 线性空间
数域概念
关键词：这部分出题基本没发出
P46 7.2 基、维数、坐标
好像就这点内容
过渡矩阵
定义
注意是从谁到谁的过渡矩阵
