IMO第二题思路

思路：题目说对任意x都存在唯一的y满足式(1)，先证明x=y。

若不然，由于y是唯一满足式(1)的解，亦即在式(1)中将y替换成其它正实数则不成立。

我们将y替换成x得到xf(x)+xf(x)>2，

从而有f(x)>1/x，同理在式(1)中将x替换成y可得f(y)>1/y。

进而xf(y)+yf(x)>x/y+y/x>=2，与式(1)矛盾。

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在证明了y=x之后，代入式(1)得到xf(x)+xf(x)<=2，即对任意正实数x都有

f(x)<=1/x，记为式(2)。

下面证明f(x)=1/x，同样用反证法。

假设存在x使得f(x)<1/x，亦即x<1/f(x)，在式(1)中将y替换成1/f(x)得到

xf(1/f(x))+1>2，即f(1/f(x))>1/x。

但由式(2)，f(1/f(x))<=f(x)<=1/x，与上面矛盾。

故不存在x使得f(x)<1/x，亦即对任意正实数x都有f(x)=1/x。