【零基础学经济Ep67】查漏补缺——数学基础（九：史老师视频微分方程）+经济概念梳理
整理史济怀老师视频课中关于常微分方程的内容，然后聊“效用最大化和消费者选择”。
part 1 史济怀老师视频课微分方程部分
&2.一阶微分方程
一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。
&2.4可降阶的二阶线性方程
先把之前聊过的内容复习一下——
线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。
原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。
非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。
二阶线性微分方程——形如F（x，y，y'，y''）=0的微分方程。
特别的，有两种形式的二阶线性微分方程可以降阶成一阶线性微分方程，今天先说第一种。
类型一：若方程不显含未知函数，即F（x，y'，y''）=0。
解法——
令y'=p，所以y''=p'；
原方程化为F（x，p，p'）=0。——化为了一个关于x、p的一阶微分方程；
我们解出p，再对p进行积分即可。
例子——解方程xy''+y'=4x
解——
a.先将目标方程化为一阶线性方程——
令y'=p，所以y''=p'；
原方程化为xp'+p=4x；
将2中方程左右同乘1/x：dp/dx+p/x=4——一阶线性微分方程，其中P（x）=1/x，Q（x）=4。
b.找出该一阶线性微分方程对应的齐次方程dp/dx+p/x=0的通解——
移项可得：dp/p=-dx/x；
两边积分：ln|p|=ln1/|x|+C1；
因为C1为任意实数，可以取到适当的C1，使得p=c/x。
c.找出该一阶线性微分方程的一个特解——
设特解p=u（x）e^（-∫ P（x）dx）=u（x）/x——其中u（x）为关于x的未知待定函数；
由1，dp/dx=[xu'（x）-u（x）]/x^2；
将1,2代入原方程：dp/dx+p/x=[xu'（x）-u（x）]/x^2+u（x）/x^2=u'（x）/x=4；
由3，u'（x）=4x，即u（x）=2x^2+C2——其中C2为任意常数，为了方便，我们取C2=0；
综上，求出该方程一个特解p=2x。
d.将a中的通解与b中的特解相加即为该方程的通解——
解得p=2x+c/x。
e.由p解得y——
y'=p=2x+c/x；
两边积分：y=x^2+cln|x|+c'。
part 2 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——
引入了效用的概念——
效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。
效用的度量——
基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。
序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。
消费者的最优购买选择行为必须满足两个条件——
最优的商品购买组合必须是消费者最偏好的商品组合。也就是说，最优的商品购买组合必须是能够给消费者带来最大效用。
最优的商品购买组合必须位于给定的预算线上。
消费者实现效用最大化的均衡点——预算线与无差异曲线的切点，即这一点这两条线斜率相等。
已知，无差异曲线的斜率的绝对值就是两商品的边际替代率MRS12，预算线的斜率的绝对值可以用两商品的价格之比P1/P2来表示，因此，在均衡点有MRS12=P1/P2——
这就是消费者效用最大化的均衡条件。它表示：在一定的预算约束下，为了实现最大化的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。也可以这样理解：在消费者的均衡点上，消费者愿意用一单位的某种商品区交换的另一种商品的数量（即MRS12），应该等于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品区交换得到的另一种商品的数量（即P1/P2）。
今天先到这里！
