MIMO MMSE 的公式的推导-从最优化理论角度

（录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1Yo4y1J7nE/）

这篇文章从最优化的角度推导一下 MIMO MMSE 检测算法的数学公式。MMSE：Minimum Mean Squared Error.

其中 H 是信道系数矩阵，是 MxN 的，X 是发送信号向量，Nx1的列向量，Y 是接收到的信号，是 Mx1的列向量，W 是加性高斯白噪声，也是 Mx1 的列向量。

 zero forcing(ZF) 算法

当 特征值不全都相等，也含有噪声

则：

公式 （3） 中第一个等号那里，相当于对向量  Y-HX 先做旋转，然后再在各个维度上做缩放。

当 H 的条件数大的时候，则性能不好。为了客服这个现象，从最优化学科角度出发，对公式 (2) 加入一个 regularization term:

则对上面这个公式进行求解极值，也可以推导出 MMSE 检测用的公式（真是有趣！）

对 X 求导：

进一步推导有：

所以：

这个就是 MMSE 算法的公式。虽然也能推导出来 MMSE 用的公式，但是名称 "MMSE" 的由来，却是从我们第一个推导或者说思想的出发点上得来的。