关于圆锥曲线的高次类比这件事——引入范数

2021-08-05 20:15 作者:Gamma万俟任时 0人读过 | 我要投稿

这是我在自己玩的时候发现的一个有意思的事情。

本文章于2022年4月15日重新修改

关于圆锥曲线，大家都不陌生。为了简单，我只研究单位圆锥曲线。不过我不知道是否有“单位抛物线”的概念，这里姑且将 $y%5E2%3D2x$ 称作单位抛物线。那么，图-1展示了单位圆，双曲线和抛物线

其实，最开始引起我兴趣的是曲线 $%5Cvert%20x%5Cvert%20%2B%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D2$ ,这是一个正方形。在图-2中，当改变 $x%2Cy$ 的系数可以看出，这一类曲线方程对应的曲线是菱形

事实上，矩形的方程可以为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%2B%5Cvert%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%5Cvert%20%3D2$ ，其中 $2a%2C2b$ 为矩形边长，其图形如图-3

于是我开始思考这矩形究竟是怎么来的，我并没有完全想明白，但是这应该是一个标准的矩形，即他的四个角都是直角，并不是圆滑的。在矩形方程中出现的 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D$ 和 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D$ 分别是椭圆和双曲线标准方程的一部分，于是我从方程 $%5Cvert%20x%20%5Cvert%2B%20%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D2$ 想到了方程

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%2B%20%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1$

（1）

以及方程

$%5Cvert%20x%20%5Cvert-%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1$

（2）

图-4中展示了他们的曲线

在图-5中可以看到，如果将圆锥曲线方程中的平方改为绝对值，即“抛物折线”

$%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D2x$

（3）

可以画出与原曲线类似的“折线”

既然我们研究了：

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%2B%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1%EF%BC%8Cx%5E2%2By%5E2%3D1$

$%5Cvert%20x%20%5Cvert-%20%5Cvert%20y%5Cvert%20%3D1%EF%BC%8Cx%5E2-y%5E2%3D1$

$%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%3D2x%2Cy%5E2%3D2x$

不妨再研究曲线（4），图-6中展示了他们的图形

$x%5E3%2By%5E3%3D1$

$x%5E3-y%5E3%3D1$

$y%5E3%20%3D2x$

（4）

常识告诉我们，如果想画出闭合曲线，可以在变量上加绝对值，得到（5）

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5E3%2B%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5E3%3D1$

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5E3-%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5E3%3D1$

$%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5E3%20%3D2x$

（5）

图-7展示了他们的图形，可以看出他们与圆锥曲线更为相近

可以看出，他们的形状与圆锥曲线的形状类似

那么， $n$ 次的情况呢？图（gra-8）从内到外展示了 $%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5En%2B%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5En%3D1$ 在 $n%3D1%2C2%2C3%2C4$ 时的曲线，其中 $n%3D2$ 时为单位圆，他们有四个公共点，是对称图形

图-9从内到外展示了 $%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5En-%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5En%3D1$ 在 $n%3D1%2C2%2C3%2C4$ 时的曲线，其中 $n%3D2$ 时为单位双曲线

图-10从内到外展示了 $%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5En%3D2x$ 在 $n%3D2%2C3%2C4$ 时的曲线，其中 $n%3D2$ 时为单位抛物线

事实上，我们可以画出

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5Ep%2B%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5Ep%3D1$

（6）

$%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5Ep-%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5Ep%3D1$

（7）

$%5Cvert%20y%20%5Cvert%20%5Ep%3D2x$

（8）

其中，他们分别于圆，等轴双曲线，抛物线有类似形状，这里为了表述方便，将他们统称为 $%5Ccolor%7BBlue%7D%E5%8D%95%5Ccolor%7BBlue%7D%E4%BD%8D%5Ccolor%7BBlue%7Dp%5Ccolor%7BBlue%7D%E9%98%B6%5Ccolor%7BBlue%7D%E5%9C%86%5Ccolor%7BBlue%7D%E9%94%A5%5Ccolor%7BBlue%7D%E6%9B%B2%5Ccolor%7BBlue%7D%E7%BA%BF$ ， $p$ 称为阶数。而曲线（6）（7）（8）分别称为单位 $p$ 阶椭圆，单位 $p$ 阶双曲线，单位 $p$ 阶抛物线

如图-11，展示了单位2,4,8阶椭圆

可以看出，单位 $p$ 阶椭圆被限制在一个方框中，阶数越大，单位 $p$ 阶椭圆越靠近一个边界，与边界有四个交点

图-12展示了单位2,4,8阶双曲线，单位 $p$ 阶双曲线在一个边界之外，阶数越大，越靠近边界，与边界有两个交点

图-13展示了单位2,4,8阶抛物线，可以看出，单位 $p$ 阶抛物线的阶数越小，开口越大，单位 $p$ 阶抛物线之间有三个交点

另一个问题是，单位 $p$ 阶圆锥曲线究竟是什么曲线？需要注意我们虽然以椭圆，抛物线，双曲线命名，但他们并不是椭圆，抛物线，双曲线，因为椭圆，抛物线，双曲线是二次曲线

考虑到椭圆的第一定义：平面内到两定点距离之和为定值的点的集合，事实上，我们研究的是单位圆锥曲线，可以改为：到定点距离为定值的点的集合，即为圆的定义

我们先来简单的遐想一下，将二次变为三次，可能就要把距离做一个”三次类推“

距离被定义为两点坐标差平方和的算术平方根，那么”三次距离“可以为两点坐标差立方和的立方根

定义1 $%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E6%9C%89%E4%B8%A4%E7%82%B9A(m%2Cn)%2CB(s%2Ct)%2C%E5%88%99$

$%5Cvert%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Cvert%20%3D%5Csqrt%7B(s-m)%5E2%2B(t-n)%5E2%7D%20$

（9）

$%E7%A7%B0%E4%B8%BAA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E9%97%B4%E7%9A%84%EF%BC%88%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%EF%BC%89%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%8C%E8%80%8C$

$%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cvert%20s-m%5Cvert%5E3%2B%5Cvert%20t-n%20%5Cvert%5E3%7D%20$

（10）

$%E7%A7%B0%E4%B8%BAA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E9%97%B4%E7%9A%84%E4%B8%89%E6%AC%A1%E8%B7%9D%E7%A6%BB$

有了定义（1）和代数式（9）（10），我们可以说，单位圆是到定点距离为定值的点的集合，单位3阶圆是到定点三次距离为定值的点的集合。为了方便表述，我们不妨直接定义一个类似于距离的概念

定义2 $%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%90%91%E9%87%8F%5Cvec%7Ba%7D%20%3D(x%2Cy)%2C%E8%AE%B0$

$%5Csqrt%5Bp%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5Ep%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5Ep%7D%20$

$%E4%B8%BA%E5%90%91%E9%87%8F%5Cvec%7Ba%7D%E7%9A%84p-%E8%8C%83%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%B8%BA%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_p%2C%E5%8D%B3$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_p%3D%5Csqrt%5Bp%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5Ep%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5Ep%7D%20$

（11）

显然，对于定义（def-1）中的两点，有

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Cright%20%5C%7C%20_p%3D%5Csqrt%5Bp%5D%7B%5Cvert%20s-m%5Cvert%5Ep%2B%5Cvert%20t-n%5Cvert%5Ep%7D%20$

可以称为 $A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84p-%E8%8C%83%E6%95%B0%E8%B7%9D%E7%A6%BB$

显然，

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_1%3D%5Cvert%20x%5Cvert%2B%5Cvert%20y%5Cvert$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_2%3D%5Csqrt%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5E2%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5E2%7D%20$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_3%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5E3%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5E3%7D%20$

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7Ba%7D%20%20%5Cright%20%5C%7C%20_4%3D%5Csqrt%5B4%5D%7B%5Cvert%20x%5Cvert%5E4%2B%5Cvert%20y%5Cvert%5E4%7D%20$

特殊地， $%E5%BD%93p%3D1%E6%97%B6$ ，

$%5Cleft%20%5C%7C%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Cright%20%5C%7C%20_1%3D%5Cvert%20s-m%5Cvert%2B%5Cvert%20t-n%5Cvert$

称为 $A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A1%BF%E8%B7%9D%E7%A6%BB$

定义3 到两顶点的 $p-%E8%8C%83%E6%95%B0%E8%B7%9D%E7%A6%BB$ 之和为定值的点的集合为 $p%E9%98%B6%E6%A4%AD%E5%9C%86$ ，到两顶点的 $p-%E8%8C%83%E6%95%B0%E8%B7%9D%E7%A6%BB$ 之差的绝对值为定值的点的集合为 $p%E9%98%B6%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF$