运算的“奥秘”

上一篇我们阐述了数的由来、进制的演化，按照小学数学的教学模式，自然而然地就进入“四则运算”，包含：加、减、乘和除。但是，这些运算的基础默认了“1+1=2”的概念。这是一个特别“强”的前提定义，必须要保证两个“1”描述的是同一种可叠加的量，这种量被称为“外延量”（程度大或广、能被一眼看出来的量，如：长度、时间、重量、体积、面积、价格等），与之相对的是“内涵量”（描述物质的内禀属性，一般都带有“率”或“度”，如：密度、温度、速度、利率等）。由此，描述数字，必须还要注重对“量”的理解，与此同时，和“量”匹配的单位显得尤为重要。

还是以“1+1=2”为出发，以下几种都是理解上的“误区”，但恰恰是这些误区能让我们更好地理解这么一个“看似简单”式子背后的“数学概念”。误区一：1摄氏度的1升液态水混合1摄氏度的1升液态水，最后得到2摄氏度的2升液态水（错误在于温度的不可加性）。误区二：小明乘坐客车以1公里每分钟的速度回家，而客车的某种燃料可以提高速度，每小时增加1公里，则小明乘坐带此燃料的客车，实际速度是2公里每分钟（错误在于单位的不一致性）。误区三：1升沙子加1升水，最后是2升的沙子和水（错误在于物质的不一致性）。误区四：小红的苹果数量是小丁的2倍，小黄是小红的3倍，则小黄是小丁的5倍（错误在于倍率关系的不可加性）。诸如此类，还有很多。

因此，运算的“意义”是“含有单位（严格意义是量纲）”的“量”计算。量可以分为离散量和连续量，连续量可再细分为外延量和内涵量，内涵量里又有度和率（引自远山启《数学与生活2》）。

了解了“1+1=2”的基础内涵，从最原始的“数字符号”的起源之初，便奠定了运算的基础。当然，如果只是从数字上表达，这个式子也只有在进制大于2的运算中是正确的，在二进制中的结果应该为“10”，这是需要注意的。

数字的起源之初，便形成了1,2,3,……的数，后引入“虚无”的概念有了0，从而构建起了自然数集。从纯数字运算上来说，加法和乘法在自然数集中是封闭的（运算的“封闭”可以理解为：某个集合中的任意两个元素，经过某种运算得到的结果仍属于这个集合）。现代意义上，很容易把“乘法”当成多次“加法”的叠加，这似乎是有失偏颇的，这两种基于的运算基础本身就是不一样的，不过在本文的描述中为了简化，我们对此不作过多的阐述。

既然加法和乘法的封闭性对于自然数集是满足的，容易想到，那它们的逆运算“减法”和“除法”的封闭性又有什么体现呢？当我们观察自然数集的时候，若要使得其对减法封闭，就必须要有负整数的引入，从而得到整数集，也就是说“整数集是满足减法封闭的”。进而，除法封闭就给出了“p/q（p和q为整数且q不为0）”的概念，这恰好是“有理数集”。这似乎是数字集合需要外拓的“内在”驱动力。

这样就不难看出，若某集合的子集对某运算是封闭的，其本身对此运算也是封闭的。进一步来说，如果将运算视为某种“映射”的过程，则除了基本的四则运算外，还有各种纷杂繁复的“序列”，从而可能存在数集“规模”的缩小或放大。进一步来讲，乘法或除法的多次就形成了幂运算，这可以串联起等比数列（特殊或含有一定规律的一种数集），而幂运算的逆运算就是“根式”运算。有理数集对于根式运算（不考虑负数）是不封闭的，考虑加入“根式型”无理数，则达到了数集的扩展，但还没有构成“实数”，这是因为有些特殊的无理数：欧拉数e和圆周率π等都是非根式型无理数，但都是实数家庭的“一份子”。所以实数对根式运算也是封闭的。这里面的根式运算是“特定的”，因为它忽视了负数的根式，也很难想出它所代表的数学含义。

也就是说，实数基本上满足了所有最为基本的运算，如：加、减、乘、除、幂、特定的根式等，且是封闭的。有了具体的数字，从而就形成了代数运算来描述实际问题，从一元一次、二元一次、一元二次等发展，一元三次方程的通解似乎迎来了“曙光”，但这背后的故事也颇为有趣。最终，一元三次方程的通解中也出现了“负数的根式”，这似乎是对“特殊的根式”运算有着“回答”，从而有了与实数“亦敌亦友”的虚数概念。数系进一步扩充到复数领域，而这个领域从原有单一的实（数）轴也添加了垂直于它的虚（数）轴，构成了一个二维空间的“数”，更好的说法其实是“向量”，是既有大小又有方向的数。欧拉公式将虚无（0）、存在（1）、欧拉数（e）、圆周率（π）和虚数单位（i）合成了著名且极其美妙的“欧拉公式”，开辟了全新的领域，也将对运算的“奥秘”有了更深层次的理解。计算机的发展离不开二进制中的0和1，现代信号处理离不开傅里叶变换中的e、π和i……“运算”在其中也发挥着自身无限的魅力。

当然，我只是以“数集”的扩充来作为运算的一个例子，并进行了简单粗暴的描述。其实，集合中的元素不一定是数，也有可能是数的集合，也有可能是向量或矩阵，也有可能是物品或种群，也有可能是图像或动画，也有可能是诗歌或小说等等，诸如同一类的都可以归纳成集合，这需要特别注意。但任何集合中的元素尽量都要有“部分共性”或“一致共性”，而寻找并研究清楚其中的“共性”和除去“共性”外的“特性”，便是各个学科领域的专属工作。否则，缺少共性的集合本身可能就是“一盘散沙，没走几步就散了”，每个元素都承担着截然不同的角色，也便失去了“沟通”和“交流”，研究意义和质量也将大打折扣。

从理解“1+1=2”开始了解运算的“奥秘”，这中间并没有看上去或听上去那么“简单”。数字其实也不仅仅是数字，它们更像是古代与现代的碰撞、灵魂与思想的对话，运算也不仅仅是运算，它们更像是打破学科分支的鸿沟、搭建现代科学的基石。