引力场中的引力扰动

根据方程

如果gμν受到某种扰动变成gμν+δgμν而且δgμν很小，那么准确到δgμν的一阶，我们有:

式中δΓλμν是仿射联络的变分:

我们注意到δΓλμν可以表示为张量形式:

协变导数当然是用未扰动的仿射联络Γμν来构造的，因为δΓμν是一个张量，Ricci张量的变分也可以用协变导数写出来

这叫做Palatini恒等式，利用δgμν可以把它写为:

这里假定对于未扰动引力场gμν和能量-动量张量Tμν，Einstein场方程也应成立的条件是:

原项δTμν也服从守恒定律

这些方程的广义协变性是显然的 正如对于Minkowski时空中的引力波一样，把物理扰动同仅仅是坐标系的改变区别开来在这里是重要的，为了这个目的让我们思考一般的无限小坐标变换

式中εμ（x）是一个任意的无限小矢量场，张量变换法则中出现的偏导数这里是

因为Einstein方程是广义协变的，而且gμν（x）是对于能量-动量张量T'μν（x）的解，这里

对于T'μν（x）亦然，用协变的术语，我们能得出结论:度规张量

是Einstein方程对于能量-动量张量

的解，式中

（注意:除了gμν的协变导数为0，而Tμν的协变导数不为0以外△εΤμν和△εgμν具有相同的形式）由此得知（并且不难直接验证）δgμν＝△εgμν是场方程

对于源扰动δΤμν＝△εΤμν的解，但是上面方程是线性微分方程，因此，给定了任何解δgμν以后，我们总可以找到形如δgμν＝△εgμν的具有完全相同的物理内容的其他解，对于任意函数εμ（x）可以任意的添加△εgμν项 方程中引进△ε可以推广到任意张量，只需说明涉及该张量用ε的协变导数并缩的项，对于每个协变指标应取+号而对每个逆变指标应取-号，也就是说对于标量，我们定义

对于矢量我们定义

对于二阶逆变和混合张量我们定义

等等！按这种方式定义的△ε叫做lie导数，一般来说，无限小坐标变换对于任何张量Τ的影响是新张量等于在同一坐标点的老张量，加上lie导数△εΤ容易证明，算符△ε具有同普通导数和协变导数相同的抽象性质，它是线性的

它满足Leibniz法则

它同缩并运算对易

特别是对于理想流体，能量-动量张量的Lie导数是

所以△εgμν是Einstein方程对于其速度，压强和密度分别受到扰动△εUμ△εp和△εp的流体的解