定比分弦和抛物线焦点弦长证明

如图所示，右端直线为椭圆准线。

过焦点弦两端点分别作准线垂线。由第二定义算得两距离分别为L1/e,L2/e，

cosθ =（L1/e-L2/e）/L1+L2

再根据题目已知L1和L2的比例和倾斜角与θ的关系代入即可算得e

（双曲线，抛物线同理：过弦端点作准线垂线找关系）

抛物线焦点弦长（L=2p/(sina)^2）推导过程：设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

那么(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2