有限元法基本理论

弹性力学

弹性力学中关于材料性质的假定：物体是

• 连续的

• 完全弹性的

• 均匀的

• 各向同性的

• 变形是微小的

弹性力学基本变量  位移 应力 应变

基本方程               物理方程 几何方程 平衡方程

节点数据 单元数据 边界条件数据

三种边界条件

• 应力边界条件

• 位移边界条件

• 混合边界条件

函数满足的边界条件：强制边界条件 导数满足的边界条件：自然边界条件

应变矩阵仅与单元节点坐标有关

有限元法基本步骤

• 数学建模

• 结构离散：用假想的线或面将连续物体分割为由有限个单元组成的集合体，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点连接。

• 单元分析【选择插值函数；位移函数的构造方法；单元刚度矩阵】

• 整体分析与求解：建立整体平衡方程，形成整体刚度矩阵和节点载荷向量，完成整体方程求解。

• 结果分析及后处理

基本思想： 几何离散，分片近似 先将求解域离散为有限个单元,对每个单元构造一个简单的近似函数（类似里兹法）,基于问题的基本控制方程，建立单元节点的平衡方程,将所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程进行求解。

虚功原理：对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。

位移函数：有限元中用于描述单元内位移的简单函数。  通常以节点位移为未知量通过插值来表示单元内任意一点的位移。 位移函数的收敛准则

• 包含刚体位移

• 反映常应变状态

• 单元内连续，单元边界协调

在按位移法求解有限元法中，为什么说应力解的精度低于位移解的精度？实际结构本来是具有无限个自由度，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合，便只有有限个自由度了，限制了结构变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减少，所以有限元求得的位移近似解小于精确解。

单元网格划分：生成单元节点信息

• 应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些

• 有应力集中的地方，网格应密一些

• 单元边界长度不要相差过大

• 单元各边夹角不要太大

• 集中载荷处要设置节点

• 结构不同材料交界面处要设置节点并作为单元边界

• 结构厚度突变处要设置节点并作为单元边界

• 分布载荷突变处要设置节点

• 施加位移约束处要设置节点

• 注意单元间的连接

里兹法

先构造微分方程及定解条件的泛函，再在整体场函数用近似的试函数代替(近似函数常为含n个待定系数的多项式，且满足定解条件)；求泛函极值确定试函数待定系数（利用极值条件建立n个代数方程），解代数方程组

优缺点：

• 适合简单问题，复杂问题很难解决

• 某些问题的泛函不可构造，只适用某些问题。

• 试函数的定义为全局参数，不便计算机化。

伽辽金法和李兹法的关系

• 都是积分方程式；

• 伽辽金法是用控制微分方程的误差的积分，李兹法是本身泛函的积分，前者含有更高阶导数；

• 是同一物理现象的不同表现。

有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。

形函数的物理意义：当节点i在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时，单元内的位移分布规律特点：

• 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；

• 单元内任一点的形函数之和恒等于1

• 形函数的值在0~1间变化。

• 形函数与节点坐标有关，与节点位移无关

位移函数的收敛性分析：

• 必须包含能反映单元常应变的一次项

• 必须包含能反映单元刚体位移的常数项

• 尽量保证位移的连续性和协调性 选取其他条件：

• 位移函数个数等于单元中任意一点的位移分量个数

• 位移函数是坐标的函数

• 位移函数中待定常数个数等于单元节点自由度总数

选择位移函数的一般原则：

• 位移函数在单元节点的值应等于节点位移

• 所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解

刚性位移：物体的形状不发生变化产生的位移

单元刚度矩阵

• 对称阵

• 主对角元素恒为正值

• 奇异矩阵，|K|=0 

• 单元刚度方程不可能得到位移解，只能得到位移节点力解

• 奇数行对应元素之和为0，偶数行对应元素之和为0。各行元素之和为0.(对称性)

• 单元刚度矩阵的第一列元素是当第一个节点产生单位位移，其他节点位移分量为0时作用于各节点位移分量上的节点力。

单元刚度矩阵元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

• 应变矩阵是xy的函数，矩阵中的应变是随x或y线性变化的，同应力。

• 形函数只与单元节点坐标有关

• K_{ij} 表示在j 节点上产生单位位移且其他节点位移 为零时，在i号节点上所需要施加的力的大小

• M_{ij} 表示在第j 节点上产生单位加速度且其他节点加速度 为零时，在i号节点上所需要施加的力的大小

单元载荷移置

能量等效 静力等效法 虚功移置法 普遍公式法

整体刚度矩阵

对称性；奇异性；主对角元素恒为正；稀疏性； 带状性 ：是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带状分布

半带宽：在半个带形区域中 包括对角线元素在内，每行具有的元素个数

整体分析的步骤

• 建立整体刚度矩阵；

• 根据支承条件修改整体刚度矩阵；

• 解方程组，求节点位移；

• 根据节点位移求出应力

杆梁问题

杆梁单元的有限元解是精确解 单元划分：

• 载荷突变点必须设置节点

• 截面变化点必须设置节点

板

平面应力问题：作用于很薄的板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用平面应变问题：长柱体的横截面沿长度方向不变，作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力。

轴对称问题：几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一跟轴，则通过该轴的任何平面都是物体的对称面，物体内的所有应力、应变和位移都关于该轴对称。

等参单元

若变换函数中的插值基函数（即形函数）以及插值节点数和描述单元位移函数的完全相同，则这种变换称为等参数变换，这种单元就称为等参单元

若变换函数的插值基函数次数高于位移函数插值基函数的次数，则称为超参元； 反之，变换函数的插值基函数低于位移函数的次数，则称为亚参元。

等参数变换存在条件：Jacobi行列式不等于零

等参单元的收敛性： 单元公共边界具有相同节点 等参单元位移函数取决于单元插值基函数(形函数)，它反映单元位移形状和几何形状。

采用减缩积分以保证完全多项式的积分精度来选择积分点 的积分方案称为优化积分方案。

等参单元的特点：

• 对任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散

• 相关运算大大简化

• 可采用标准化的数值积分方法计算

• 计算格式规范

为什么要进行坐标变换？数学和物理意义？ 实际结构中，由于构件的轴线都是纵横交错的，因此，为了便于整体分析，必须将局部坐标系下的节点位移、节点力和刚度矩阵变换到统一的整体坐标，然后才能实施组装集成，进行整体分析。

协调：单元位移函数在单元内连续，在单元边界协调 完备：位移插值函数具有描述刚体位移和常应变状态的能力(具有常数项和一次项)

常应变单元：单元的应变分量均为常量。位移函数在单元内部线性函数，内部连续。公共边界处位移协调。单元的应力应变为常量，在相邻单元边界处，应变应力不连续，有突变。

最小势能原理

提高有限元计算精度方法：

• 计算结果整理：应力结果整理通常采用两单元平均值

• 网格细分

• 网格合理布局

• 采用高阶单元

协调非协调单元区别 振型正交的意义与特点 什么是非线性问题