人工智能AI面试题-2.2请说说B树的插⼊入、删除操作

2.2 让B树插入和删除操作变得"专业"和"有趣" 🌳🚀 B树是一种非常有趣的数据结构，它拥有强大的插入和删除操作。在接下来的解答中，我们将通过一个精彩的示例来详细介绍B树的插入（insert）和删除（delete）操作。 首先，让我们回顾一下m阶B树的基本特性： 每个节点最多包含m个孩子，其中m满足：ceil(m/2)<=m<=m。

除根节点和叶子节点外，其他节点至少有[ceil(m / 2)]个孩子。

若根节点不是叶子节点，则至少有2个孩子。

所有叶子节点都在同一层，不包含任何关键字信息。

每个非叶子节点中包含n个关键字信息：(n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)，其中Ki (i=1...n)为关键字，Pi为指向子树根的节点，且指针P(i-1)指向子树中所有节点的关键字都小于Ki，但都大于K(i-1)。

现在，让我们通过一个5阶B树的实例来具体说明这些操作。我们将使用大写字母表示关键字，并按字母升序排序它们。 c++ Copy code

typedef

struct

{

int

Count;

// 当前节点中关键元素数量

ItemType Key[

4

];

// 存储关键字的数组

long

Branch[

5

];

// 伪指针数组，(记录数量)方便判断合并和分裂的情况

} NodeType;

1. 插入（insert）操作 插入一个元素时，首先在B树中查找是否存在。如果不存在，我们在叶子节点结束并在叶子节点中插入新元素。如果叶子节点的空间足够，我们只需要右移大于新插入关键字的元素。如果空间不够，我们需要进行“分裂”操作，将一半的关键字元素分裂到新的相邻右节点中，同时将中间关键字元素上移到父节点中。如果父节点空间不够，同样需要“分裂”操作，导致树的高度增加一层。 让我们通过一个实例来说明插入操作。我们逐步插入以下字母到一个空的5阶B树中：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S。 首先，节点空间足够，四个字母都插入同一个节点中。当我们尝试插入H时，节点发现空间不够，因此将其分裂成两个节点，并将中间元素G移到新的根节点中。在这个过程中，我们保留了A和C在当前节点中，将H和N放入新的右侧邻居节点中。 接下来，插入E、K和Q时，没有分裂操作。 插入M时需要一次分裂，注意M正好是中间关键字元素，上移至父节点中。 插入F、W、L和T时，都不需要分裂操作。 插入Z时，最右侧叶子节点的空间不足，需要进行分裂操作。中间关键字元素T上移至父节点中，这个分裂结果导致节点包含两个关键字元素。 插入D时，最左侧叶子节点被分裂，D也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P、R、X和Y陆续插入，不需要分裂操作（记住，最多5个孩子）。 最后，插入S时，含有N、P和Q的节点需要分裂。将中间元素Q上移到父节点中。但这时父节点的空间已满，所以需要进行分裂操作，将父节点中的中间元素M上移到新形成的根节点中。这导致树的高度减少了一层。 以上操作完美展示了B树的插入过程，希望这个示例能够帮助你更好地理解B树的插入操作。 2. 删除（delete）操作 首先，查找B树中需要删除的元素，如果存在，则在相应的节点中执行删除操作。如果删除后，节点仍然有左右孩子节点，则将某个相邻元素上移至父节点中（通常是“左孩子最右边的节点”或“右孩子最左边的节点”），然后执行相应的移动操作。 如果节点中的关键字数量少于ceil(m/2)-1，则需要查看其某个相邻兄弟节点是否丰满（关键字数量大于ceil(m/2)-1）。如果相邻兄弟节点满足条件，可以向父节点借一个元素，然后将兄弟节点中相应元素上移至父节点，兄弟节点中的元素进行前移或后移。 如果没有满足条件的相邻兄弟节点，那么需要将该节点与某个相邻兄弟节点合并成一个节点，然后将中间元素上移至父节点中。 让我们通过以下示例进一步详细讨论删除操作。这是一棵不同的5序B树，让我们尝试删除字母C。 首先，删除元素C，首先查找C，C位于叶子节点中，该叶子节点中元素数量为3，大于最小元素数量ceil(m/2)-1=2，因此操作很简单，我们只需要将K移至原C的位置，将L移至K的位置（即节点中删除元素后面的元素向前移动）。 接下来，删除T，因为T不在叶子节点中，而在中间节点中找到。我们找到它的继承者W（字母升序的下一个元素），将W移到T的位置，然后删除原包含W的孩子节点中的W。这里需要注意，删除W后，该孩子节点中的元素数量大于2，无需合并操作。 接下来删除R，导致叶子节点中只剩下一个元素，少于最小元素数量ceil(5/2)-1=2，同时其相邻兄弟节点也不满足条件。因此，我们需要将该节点与其相邻兄弟节点合并成一个节点。首先，将父节点中的D下移到已删除E但只有F的节点中，然后将含有D和F的节点与含有A和C的相邻兄弟节点合并成一个节点。 也许你认为这个删除操作已经结束，但实际上还有一个问题。查看上图，你会发现父节点只包含一个元素G，不满足条件（因为除根节点之外的节点，包括叶子节点的关键字数量必须满足2=