基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。（3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，

，由切应力互等，

，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即

，所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，

，根据切应力互等，

。由胡克定律，

，又由于z方向的位移w处处为零，即

。因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即

，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。（5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、 平衡微分方程：

二、 (1) 平面问题的平衡微分方程；

（记）(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；

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1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。三、 几何方程；（1） 平面问题的几何方程；

（记）（2） 平面问题的几何方程（极坐标）；

编辑

1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移）四、 物理方程；（1） 平面应力的物理方程；

（记）（2） 平面应变的物理方程；

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（3） 极坐标的物理方程（平面应力）；

编辑

（4） 极坐标的物理方程（平面应变）；

编辑

五、 边界条件；（1） 几何边界条件；平面问题：

在

上；（2） 应力边界条件；平面问题：

（记） （3） 接触条件；光滑接触：

n为接触面的法线方向非光滑接触：

n为接触面的法线方向（4） 位移单值条件；

（5） 对称性条件：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一﹑概念1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。 2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。 3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。. 4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛 5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法. 6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；. 7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。 8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。 9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。 10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。 11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。 14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。 15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。 16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。 会推导两种平衡微分方程 17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数 （2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量 （3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数 18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式 (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式； (4)将应力函数f代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量 (5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全

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一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）

1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。

A．相容方程      B．近似方法       C．边界条件     D．附加假定

2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B  ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A．几何上等效      B．静力上等效       C．平衡     D．任意

3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。

   A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同

   B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同

   C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同

D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同

在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。

4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为

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，

6、设有函数

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，

（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）

（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h）。（15分）

解：

（1）将φ代入相容方程

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，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。

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重试

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对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。

所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。

   2009 ~ 2010学年第 二 学期期末考试试卷  （ A ）卷

一． 名词解释（共10分，每小题5分）

1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。4.  弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。

1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？

答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：

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二． 问答题(36)

1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚

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）

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填空题（每个1分，共10×1=10分）。1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。

2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。

1．平衡微分 几何 物理 应力 位移

   2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形

一、 单项选择题（每个2分，共5×2=10分）。

1. 关于弹性力学的正确认识是 A 。

A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。

B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设。

C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。

D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律。

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。

C. 本构关系为非线性弹性关系。

D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

3. 所谓“应力状态”是指 B 。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。

B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。

C. 3个主应力作用平面相互垂直。

D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

4．弹性力学的基本未知量没有 C 。

A. 应变分量。

B. 位移分量。

C. 面力分量。

D. 应力分量。

5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。

A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。

B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。

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C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。

D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。

二、 计算题（共15分）

如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为

的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界条件。

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四、计算题（共10分）

试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？

，

，

；

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

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基本概念解释（24分，6小题）

（1） 弹性力学的基本假定

（2） 平面应变问题

（3） 平面应力问题

（4） 圣维南原理

（5） 逆解法

1、 简单题（40分，4题）

(1) 列出图示全部边界条件。

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(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程

A：

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B：

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(3) 根据圣维南原理，比较图示中OA边的面力是否等效，

。

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2、 综合题（36分）

（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，

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，试用应力函数

求解应力分量。

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（2） 矩形截面的长柱，密度为

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，在一边侧面上受均布正应力

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，试求应力分量，体力不计。

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