滑模控制的基本原理
滑模控制的基本概念
首先对于一个给定的系统，假设它可以用如下形式表示：
则在系统的状态空间存在一个超曲面，它的表达式如下：
假设上述超曲面可以用下面的一条曲线表示
则可以发现滑模面将状态空间分为两个部分：s>0和s<0，则在面上的运动点可以分为三类：
A点：穿越点，它表示系统运动到滑模面s=0的时候并不停留而是直接穿越过去，这时候系统在A点附近时会满足下面的关系：
B点：起点，它表示系统运动到滑模面s=0的时候会从其两边离开，这时候系统在B点附近时会满足下面的关系：
C点：终点，它表示系统运动到滑模面s=0的时候会从停留在滑模面上，这时候系统在C点附近时会满足下面的关系：
由上面可以发现，滑模控制需要首先让系统抵到我们设计的滑模面，才能进行滑模控制，而滑模控制则使得系统不断在滑模面附近穿梭，可以用下图形象表示
2.滑模控制的例子
考虑一个二阶系统，它的状态方程可以表示如下：
假设控制目标是使得和
趋于零，而
的状态是能够采集得到的。则由反馈控制的知识我们知道，我们需要设计
使得系统稳定。
当我们取时，上式可以化简为
此时，系统有一对共轭复根，且实部为正，此时系统是不稳定的，它的相轨迹图如下
同理我们取时，上式可以化简为
此时系统的微分方程有3和-1两个根，系统仍不会稳定，相应的相轨迹图如下;
可以发现无论k取-4还是4都无法使得系统稳定，此时若定义直线方程:
并按照下面方式取k值：
则相轨迹会变成
通过这种改变控制结构的方法最终使得系统能够一直在s平面上运动的控制方法就是滑模变结构控制，由构建的s平面可以发现此时系统的特征根为-1应该系统能够区域稳定。
3.滑模控制的设计方法
滑模控制的设计可以简单概括为两步：
第一步：设计滑模面，保证系统存在滑模面。
第二步：选择适合的趋近律，使得系统能够在滑模面上做滑模运动。
为了阐述上面的步骤，我们举一个例子进行说明，假设系统的状态方程为：
首先设计滑模面，由Hurwitz稳定性，可以把s平面设计为：
此时多项式具有两个相同的特征根-2。保证了系统存在滑模面。
接着为了分析系统能够在有限时间内达到s=0的滑模面，此时需要采用李雅普诺夫方法进行分析。通常李雅普诺夫函数可以设计为：
对上式求导可得：
由李雅普诺夫稳定性判据可知要求其导数为负定，即
在实际控制器设计过程中，考虑到不能每次控制输出都要进行一次李雅普诺夫判据，因此通常采用引入趋近律的方式，常见的趋近律有：
1、等速趋近律：，其中sgn(s)是符号函数，它的结构如下图所示
2、指数趋近律：。
接着上面的分析对s函数求导有
将状态方程带入上式有
以指数趋近律为例进行设计，则u可以设计为
将u带入到设计的李雅普诺夫函数并求导可得
此时上式是负定的，因此系统会渐进趋于稳定，则s会趋近于0，此时达到稳定控制的设计。
为了验证上述控制器设计，在Simulink环节下搭建控制器，仿真结果如下
