微电子器件三大基本方程（一）：泊松方程

本文主要讨论半导体基本方程中的泊松方程。

半导体物理的三大基本方程是后续分析PN结、BJT、MOSFET的基础，其重要性来自其物理意义。

在微电子器件中，泊松方程的表达形式为：

该式从物理量上分析可以看到，其联系了电场与电荷，左边是对电场进行求导，右边是单位体积内的总粒子个数乘上一个系数  。然后呢？似乎物理图像在脑海里不是非常明显：因为求导符号的存在。现在我们从泊松方程出发，进一步分析。

在电磁学理论中，泊松方程的表达式为：

其中， 代表电势， 代表单位体积内的总电荷，对应我们研究的掺杂硅，我们进一步得到：

故：

似乎研究与我们的式子很像了，我们进一步研究。

由电磁场理论有：

代入上式，可以得到：

当我们只考虑一维情况时，该式左侧的散度运算可以进一步简化为：

至此，最初的泊松方程推导完毕。

回顾整个推导过程，我们能够发现，对电场的一阶导来自对电场求散度后的一维情况简化，但这似乎也没有给我们足够的物理图像，我们进一步分析。

相比较于 来说，对电场求散度的物理意义更加明显：电场的散度即反映的单位体积内的净电荷量，我们从此进一步分析。

既然要反映电场散度与电荷量的关系，我们可以有更好的选择：

没有系数、一对一的映射使得电通量密度（D）的引入对于分析物理意义具有绝佳的表示。（我没有记错的话，国内教材叫做电位移矢量，但我更喜欢称之为电通量密度，因为其单位为 ，这难道不是密度的单位吗？）

该式的物理意义是：单位体积内，对电通量密度求散度，结果为单位体积内的电荷量，换句话说，电通量密度的源是电荷。我们可以考虑以下物理图像：

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其中矢量线我们可以看成是D，D和E在线性各向同性介质中的关系：

所以我们的推导过程可以变成这样：

我们再看看泊松方程：右边第一项q来自电荷量，介电常数来自电通量密度与电场的映射关系，从直观来看，该式反映的就是一句话：电场（or电通量密度，两者从某种角度上可以理解为反映着同一种东西）的源是电荷，如果是记公式的话，就记住：泊松方程表示的是，单位体积内对电通量密度（电位移）求散度，结果为体积内的电荷。（你能根据这句话写出泊松方程吗？）

除了上面从电磁学理论出发的分析，该式从数学上也可以看成：电场与位置的函数关系，通过解泊松方程，便可以得到随着位置变化时，电场、电势的变化情况。这对后面分析器件的电势电场分布非常有用。

到这里再举几个简化泊松方程求解的例子。

第一个简化是前面提到的，一维化。

一维化对应于我们研究PN结与BJT，我们假设y方向掺杂浓度是一样的，x方向允许有所变化，根据具体情况而定。这可以极大简化我们的求解过程，毕竟多一个维度、图像就需要用三维坐标系来表示了，难度大了，意义却不大（手算）。

第二个简化是对PN结耗尽区的假设，即耗尽近似。

泊松方程可以简化为：

该简化用于研究耗尽区内电场分布，极易求解。

如果有时间的话，后面补齐另外两个基本方程的简单分析。

参考：

1.陈星弼，陈勇，刘继芝，任敏编著. 微电子器件[M]. 北京：电子工业出版社, 2018.07.

2.（美）威廉姆·H.哈特，（美）约翰·A.巴克著. 工程电磁场 第9版[M]. 北京：清华大学出版社, 2019.07.