【佟硕公益数学】数列知识点总复习+高考真题选讲
一.1.等差数列定义，通项，基本量
通项：an-an-1=d(n>=2)
d为公差 a1为首项
等差定义：所有的差值都相等（数列的后一项与前项的差始终不变）
2.等差数列的求和公式
可以利用梯形面积记忆：（上底+下底）*高/2
数列前n项和Sn=(a1+an)*n/2
3.关于n的二次型函数与基本量
前n项和Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2=d/2*n*n+2a1-d/2*n
Sn=d/2*n*n+2a1-d/2*n与Sn=An*n+Bn(等差数列)挂钩
4.例题
例1
例2
关于等差数列通项以及基本量的思想
求值用方程，求范围用不等式
例3
例4
题目没有说明an数列属性的都不能乱用公式（除非研究出相应的规律）
明确等差用相应的公式
如：1.数列an是等差(题目直接明确表示)
2.an-an-1=an+1-an
3. 2an=an-1+an+1
例5
例6
例7 等差数列加上绝对值的求和题型
题目中明确A,B,C成等差就是：2B=A+C
成等比就是:B*B=A*C
考试爱考：中间符号发生过改变的等差
1.明确：从哪项开始改变的
2.发生改变分为：两种情况进行讨论
这题算错了（明白思路就可以了）
分段思想
a1=-49 d=3
最后这种题型分为：求出an的临界值，
>or<的部分分段即可
二.等差数列通项性质
满足这两个条件：
1.左边和右边的下标和相等：an+am=ap+aq
2.易错点：左右两边的元素个数要相同才可适用
例1
例2
例3
例4
利用到对数的性质：两个对数相加=底数不变 指数相乘or指数相乘也可以拆成两个对数相加
1/3的-1次方是3 -2次方是9
三.等差数列前n项和性质
理解这些公式并进行应用
（1）Sm,S2m-m,S3m-2m
例5
（2）S1/1，S2/2，S3/3，...为等差数列，公差为d/2
当题目中出现数列Sn/n为等差
例6
（3）项数为2n时(为偶数项)：有S偶/S奇=an+1/an
项数为2n+1(为奇数项)时有S偶/S奇=n/n+1
(小题中可能会出现的考法)
1.关于2n
2.关于2n+1
（4）若 an 与 bn 为等差数列，且前项和分别为Sn与Tn,则am/bm=S2m-1/T2m-1
例7
例9
总结：小题会考察的等差数列一些性质规律
四.等差数列前n项和的最值
例1
例3
补充 数轴顶点公式为：-b/2a
1.给具体数值:用求二次函数解析式的方法
(根据二次函数的对称轴和开口方向分析最值)
2.没给具体数值:用例1分析思维
例2
总结：1.一个等差数列an的增减只由d决定
butSn并不一定是恒增or恒减（很多时候Sn可能会先变大再变小or先变小再变大）
2.了解Sn这个二次函数的本质，只要an是等差数列(用Sn=d/2n*n+(a1-d/2)*n Sn=An*n+Bn)
五.等比数列的定义，通项与求和
求和公式推导
1.等差和等比都有共通的基本量的思维:
相求a1和dorq，就要把题目中的已知条件翻译成与a1和dorq相关
2.if前n项和的下标不是太大，可以直接用定义去解
例1
例2
例3
例4
例5
例6
1.
2.
例7
导函数思想解最值
六.等比数列的性质
1. 等比中项 与等差中项相似
下标和相等则对象的乘积相同
2.等比数列 an 的前n项和为Sn
Sm S2m-m S3m-2m...为等比
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例7
七.等差数列与等比数列综合
(1)
(2)
(3)
例1
例2
八.数列之等差数列与等比数列的判定与证明
三项递推用等差or等比中项
例1
例2
例3
例4
例5
例6
九.数列之累加，累乘法求通项
1.累加法求通项
累加右边一定是要有规律的数：才能进行累加or累成
例1
例2
例3
注意事项：
1.右边不是一群有规律的数
2.题目含有次幂，保留它原本的次幂写法，不要进行最终的化简计算，方便进行累加
例4
题目不是递推关系规范写法
就写成规范：an+1=an+d and 构造数列
2.累成法求通项
例5
例6
十.数列之构造法求通项
