【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章有理数  

§1-14乘法的运算性质

1、乘法交换律

【01】在算术里，我们已经学习过乘法交换律，如 5×8＝8×5，就是，两个因数交换位置，乘积不变。

【02】乘法交换律，对于有理数也是适用的，例如

(－8)×(＋6)＝(＋6)×(－8)＝－48；

(－3)×(－4)＝(－4)×(－3)＝＋12；

0×(－7)＝(－7)×0＝0  。

【03】乘法交换律：两个数相乘，交换它们的相互位置，它们的积不变。

2、乘法结合律

【04】我们来看下面的计算：

(3×2)×5＝6×5＝30，3×(2×5)＝3×10＝30:；

∴ (3×2)×5＝3×(2×5)  。

【05】对于有理数，同样地我们有

[(－3)×(－5)]×(＋7)＝(＋15)×(＋7)＝＋105，

(－3)×[(－5)×(＋7)]＝(－3)×(－35)＝＋105；

∴ [(－3)×(－5)]×(＋7)＝(－3)×[(－5)×(＋7)]  。

【06】这个性质，就是如下的乘法结合律：三个因数相乘，先把前面两个因数相乘，再乘以第三个因数；所得的结果与先把后面两个因数相乘再乘以第一个因数所得的结果是相等的。换句话说，因数可以任意结合。

3、乘法对于加法的分配律

【07】我们来看下面的计算：

5×(4＋8)＝5×12＝60，5×4＋5×8－20＋40＝60；

∴ －5×(4＋8)＝5×4＋5×8  。

【08】对于有理数，同样地我们有

(－3)×[(－2)＋(＋5)＋(－11)]＝(－3)×(－8)＝＋24，

(－3)×(－2)＋(－3)×(＋5)＋(－3)×(－11)＝(＋6)＋(－15)＋(＋33)＝＋24；

∴ (－3)×[(－2)＋(＋5)＋(－11)]＝(－3)×(－2)＋(－3)×(＋5)＋(－3)×(－11)  。

【09】这个性质，就是如下的乘法对于加法的分配律：一个数与几个数的和相乘所得的积，等于这个数与各个加数分别相乘所得的积的和。

例1.计算：  。

【分析】这里，，所以可以应用乘法交换律与乘法结合律，使运算简便。

【解】

例2.计算：  。

【分析】这里三个加数分母不相同，通分较繁，可以应用乘法对于加法的分配律，先乘后加。

【解】

例3.计算：(－53)×(－3.54)＋(－53)×(＋4.54)  。

【分析】这里乘法较繁，但在两个乘法里都有因数－53，且.－3.54 与 4.54 的和是 1，很简单，可以反过来应用乘法对于加法的分配律，先加后乘。

【解】(－53)×(－3.54)＋(－53)×(＋4.64)＝(－53)×[－3.54＋4.54]＝(－53)×1＝－53  。

习题1-14

用简便的方法计算：

【1、3874000；2、－6；3、0；4、19；5、－3700000；6、74；7、－20600；8、－43】