高一数学期末复习（测验），全是重难点(压轴)！

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【难度：低】Problem 1：选函数图像

选图像的题，无非两种做法：

• 一看奇偶性
• 奇偶性要背？绝不！只要按定义证一下，完全没有必要去背奇*奇=偶这种东西。
• 比如这题函数1.y=x*sinx，带个-x进去发现y = -x*(-sinx)= xsinx，那么这就是偶函数。
• 二找特殊点
• 比较常用的是零点和正负值。
• 这题看到绝对值就应该想到去找正负值了

【难度：中】Problem 2：抽象函数性质

重点是什么？条件翻译！

怎么翻？题目给什么，就往哪里去凑。

比如这题给了g(x)，g(x)可不是乱给的啊，肯定要往上面去凑啊，于是就把下面的条件同除x1x2得到关于g(x)的条件。

两边对称，最常用的就是同除同乘。

【补充】有时候题目不给你g(x)，那么我们要想尽办法去提出单独的f(x)。像这题f(x)的前面有x1x2，那我们就看看除掉它们。

那么，翻译完条件干什么？当然是画草图！

草图不在于精确，也不可能精确，它只要能反映零点增减对称就够了。

这题还有一个小点，我们研究的都是g(x)的性质，那么问f(x)的时候，也应该转换成g(x)去做。

【难度：中】Problem 3：函数零点

仍然是画图。

核心思想：零点转换为交点！

这题直接画g(x)是毫无可能的，但sinx,cosx,lgx的图像性质我们都很熟悉。

转换成交点，显然sin cos相除得到tan是我们所熟知的，那么只要求-tan x和lg x的交点就好了。

【补充】本题很坑的是f(0)=0，画图时只画对数图像非常容易漏画。

【难度：高】Problem 4：Asin(wx+φ)图像性质

本题解起来很繁琐，但要说它难倒也没有很难。

第一步用辅助角化成一般形式Asin(wx+φ)。不知道A不知道φ没关系，条件给你了就是拿来求的。

重点：条件翻译

看到区间内单调，第一反应是去求周期范围。

看到值相等，去想对称轴和对称中心。

看到最值，带进去求A和φ。注意代特殊点尽量代最值点！因为零点两侧增减性不能保证。

【难度：中】Problem 5：三角恒等变换

恒等变换通法：角度统一-->次数统一-->和差角

先统一角度。可以降幂扩角也可以升幂缩角，具体要看求什么。这题要求的是2a，那么我们就扩角咯

然后统一次数。这题所求cos(2a+2b)肯定要拆开的，拆完变成了cos2a cos2b - sin2a sin2b的二次式。而我们的条件是一次的。

一般而言，一次的条件转二次会考虑平方，因为sin平方+cos平方=1。

最后统一形式。也就是和差角公式。不过我们很可能会先把答案化开再想怎么求。

【补充】一哥讲的第二种方法不建议，比较复杂。建议看一哥上一个视频，有比较全面的总结。或者，https://www.bilibili.com/read/cv20724889。

【难度：高】Problem 6：非常规三角函数

遇到复杂题目不要怕，先想想化简。化简完画图基本都能解决。

这题绝对值先分类讨论，发现其实就是二倍角。然后画图就很显然了。

【难度：中】Problem 7：恒成立与存在性

记住一句话。恒成立最难满足，存在最易满足。

比如这题，因为是“存在”，所以让左边最小右边最大，最易满足条件。

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