直线和曲面下滑哪个快？

设两小球完全相同，不计摩擦力、空气阻力，据视频演示小球紧贴轨道运动，不存在碰撞损失能量。

相同初速度释放，观察小球在曲线两个坡峰间、及直线对应区域的运动。

两者高度差相等，根据能量守恒定律，相同的重力势能转换成了相同的动能，又因为质量相同，所以初末速度均相同。

对速度进行分解，垂直于直线轨道方向的速度分量对实验结果没有影响故不考虑，只考虑平行于直线轨道方向的速度分量。如下面两图所示：

红色表示直线轨道，蓝色表示曲线轨道，画出两者的v-t图像：

图像下方的面积可以表示，小球沿平行于直线轨道方向的位移。

两条轨道起点终点相同，还是只考虑沿平行于直线轨道方向的运动，画出完整的v-t图像。

t1时刻，曲线轨道小球到达终点。蓝色折线下方面积表示：曲线轨道平行于直线轨道方向的轨道长度，即直线轨道的长度。

t2时刻，红线下方面积与蓝线下方面积相等，说明此时直线轨道小球到达终点。

因为：t1＜t2

所以：曲线轨道小球先到达终点，直线轨道小球后到达终点。

和评论区的各位朋友进行了一些交流，指出了前面笔记中的一些错误，下面做出补充。

第一是小球并不会紧贴轨道运动，而是在坡峰后会出现短暂滞空并与轨道发生碰撞，这会损失一部分能量，可能这也是视频中曲线轨道小球慢于直线轨道小球的原因。

第二是v-t图像出现了错误，由于视频中没有具体数据，我只进行了定性分析，且存在一定疏漏。这里先不考虑滞空和碰撞损失，重新分析之前图像的问题：

把一个坡峰点到下一个坡峰点直接的轨道称为一个区间，我们只能证明两个小球在经过同一个坡峰点处的速度相同。而他们并不会同时出现在此位置，第一个区间曲线轨道小球先到达坡峰点，直线轨道小球在其后方，未到达坡峰点。曲线轨道小球开始在第二个区间运动时，我们只知道直线轨道小球的速度慢于第一个区间的末速度，不经过定量分析不能得知两个小球的速度关系，所以我猜想图像是这样的：

还是蓝色代表曲线轨道，红色代表直线轨道。绿线位置表示曲线轨道小球运动到坡峰点，绿线在y轴的向量表示此时曲线轨道小球与直线轨道小球的速度差，从一个值（可能为负）开始递增，最终相同时刻蓝线下方面积一定大于红线下方面积，也就是说前面提到的速度差不能出现递减。

定性分析只能做到这些了，感谢大家指出此篇笔记存在的问题，我只是个高中生，有幸能在b站和在座各位讨论问题，谢谢大家的评论和点赞！

针对有人提出的“曲线轨道路程不等于位移，两者路程不同无法比较得出正确结论”问题，在此做出回复：

对小球进行受力分析，重力方向竖直向下，支持力方向垂直于轨道切线。

再进行力的分解，平行于直线轨道方向的红色虚线，v-t图像中的速度v指的是这个方向上的速度蓝色箭头表示该方向的受力情况。曲线轨道小球的支持力在该方向的分量先向右下，再减小到0后反向增大，加速度与受力情况相同，可以据此画出该方向的v-t图像。

而垂直于这个方向的力对结果没有影响，可以理解为，在平行于直线轨道方向上，曲线轨道路程是等于位移的。在分析速度时已经考虑过了路程不同的影响，所以可以根据以上分析得出正确结论。

前文中我多次强调v的意义，没想到还是存在一些误解，故在此做出解释。