Borsuk-Ulam定理

首先来看h的性质：

总体还是利用引理55.1和引理55.3，证明h诱导的基本群的同态是一个单射。

首先题目中的条件较难处理，我们可以进行如下操作：

先引入一个covering map q：

则通过定理22.2:

我们可知：

交换图如下：

下面我们断言一个claim：

证明如下：

交换图如下：

证明如下：

运用了定理57.1和引理55.3。

接下来就到了Borsuk-Ulam定理：

证明如下：

以及平分定理：

证明如下：