微积分（八十七）——复积分（二）

设光滑曲线

函数在其上连续。由上节内容，我们可以把复积分拆分为四个和式的加减，而取极限后则成为四个R积分。如果我们稍微整理合并这四个R积分则可以得到：

虽然包含虚数，但上式是实积分。觉得奇怪的读者可以阅读本系列第六十二节。

我们用上面的公式试进行一个简单的计算练习。

（一个重要的积分）   曲线为以为圆心的任一圆周，函数，证明：

证明   设，

于是

理论上我们可以形式地将式中地三角形式化为指数形式，但考虑到许多读者对此应该并不熟知，故我们仍采取三角形式。当时，上式结果显然为，而当时，上式

稍微动用高中数学知识，由复数相乘的几何意义知上式

这就证完了。

上面的结论请读者牢记。

下面郑重提出两个性质：

在某一区域上有一连续复函数，

1. 在区域内任取两点，在区域内任取曲线将两点连接，在两点中取定起点和终点，函数沿该曲线的积分均为一个定值。即该区域内函数的积分值在起点和终点确定的情况下与积分路径无关。

2. 任取周线全包含于区域内，函数在该周线上的积分均为零。

这两条性质是完全等价的，证明非常简单，留给读者自证。（提示：利用前节给出的性质）

柯西在1825年提出下列定理：（划重点）

（柯西积分定理）   函数在一单连通区域解析，为全含于区域内任一周线，则

这个定理能让初学者第一次感受到复分析的简洁美。

1851年黎曼曾提出过在附加条件下利用多元函数微积分中的格林公式证明的方法。直到1900年，法国数学家古尔萨（或古莎，Goursat）终于完成了一般性的证明。

柯西积分定理的Goursat证明较困难且篇幅较长，我将其收录于我的文集《杂谈》的一篇文章中，因此本系列将不再给出详细证明，感兴趣的读者请跳转阅读。