来了，四次方程求根的故事

为老师辩解，没有实力很难站稳，但他做到了，他就是费拉里——一元四次方程求根第一人

老师被质疑

     十六世纪中期，有位数学家叫费拉里，他的老师是卡尔达诺，那个传奇人物，为了求解一元三次方程而骗取塔塔利亚的果实，并公开发表，如今一元三次方程求根公式依然被称为卡尔达诺公式，这位老师是个毫无破绽的人，为统计学做出过许多贡献，喜欢赌博，也酷爱占星，准确地占卜出自己死亡的日期，在他忌日那天自杀身亡……

    而是塔塔利亚真正提出的三次方程解法，因不满卡尔达诺的做法，言行抨击，可惜卡尔达诺有个好徒弟，帮老师辩解，当时社会喜欢浪漫，提出新的理论不愿发表，都为了证明实力而四处挑战，事实胜于雄辩，由此，一场费拉里与塔塔利亚别开生面的挑战开始了！

    不负众望，费拉里得到最后的胜利，三次方程求根公式被认为卡尔达诺公式了！他获胜的筹码是一元四次方程的解法，作为提出的者的费拉里给后人留下了宝贵的财富。

四次求根公式

    四次求根公式还是很复杂的，费拉里的做法是先将四次项与三次项配成完全平方式，然后引入参数y，再把余下的配成完全平方式，对于型如

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的四次方程，由于a≠0，

都可将最高次项系数约掉，所以只考虑

x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0型的四次方程，四次方程代数式比较复杂，尽量避免鸡肋的参数，可化简如下：

(x^2+0.5bx)^2=(0.25b^2-c)x^2-dx-e

引入参数y

(x^2+0.5bx)^2+2(x^2+0.5bx)y+y^2

=2(x^2+0.5bx)y+y^2+(0.25b^2-c)x^2-dx-e

(x^2+0.5bx+y)^2

=(2y+0.25b^2-c)x^2+(by-d)x+y^2-e

使等式右边为完全平方式，那么该四次方程就可求了，即令

(by-d)^2-(8y+b^2-4c)(y^2-e)=0

可以看出，上式是一元三次方程，解出任意一满足条件的实根即可，那么

所以型如x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的四次方程，根与如下两个二次方程的根完全相同

其中y就是前面所说的一元三次方程的根了，四次方程求根公式还是很乱的，可见费拉里在当时还是很有天赋的。

其他解法

    通过三次方程求根的灵感，四次方程也总结出很多解法，型如

z^4+Bz^3+Cz^2+Dz+E=0

的四次方程，还可以设z=x-0.25B

化简成没有三次项的一元四次方程，即可化成如下形式：

x^4+cx^2+dx+e=0

这样更好看，解法也容易记忆，根据待定系数法，设原式可化简成如下两个因式的乘积：

(x^2+y1x+y2)(x^2-y1x+y3)=0

即

x^4-y1^2x^2+y3x^2+y1y3x+y2x^2-y1y2x+y2y3=0

x^4+(y2+y3-y1^2)x^2+y1(y3-y2)x+y2y3=0

比较对应系数，得

若d=0，原四次方程可以化简成关于x^2的二次方程，从而得出4个根，

若d≠0，那么y1≠0，观察发现

可以用y1分别表示y2、y3，即

代入y2y3=e，可得出只含有偶次方项的六次方程

将其看成是关于y1^2的三次方程，从而算得y1、y2、y3，只取一组实数根即可，那么原四次方程的根与如下两个二次方程的根完全相同

x^2+y1x+y2=0；x^2-y1x+y3=0，

即可算出x1、x2、x3、x4。

总结

    次数越高越复杂，三次方程求根公式已经很乱了，没想到这个更乱吧？我就不再把完全形式的求根公式写出来了，能记住求法就行了。费拉里还是很厉害的，不愧是卡尔达诺的学生。有兴趣想知道三次方程求根公式的朋友，可以翻阅专栏中的三次求根公式的文章啊，现在你会解四次方程了吗？