经典/整数量子霍尔效应专题

       一些背景:1980年实验物理学家冯·克利青（Von Klitzing）与其合作者首先观测到了量子化的霍尔效应，并且因为发现这种整数量子霍尔效应（IQHE）而获得了1985年诺贝尔物理学奖。

       给二维晶体加一个z方向磁场后会出现霍尔电阻，经典的电磁学或者说经典的Boltzmann输运告诉我们，纵向电阻是一个常数，横向电阻与磁场的关系是线性的。但是冯·克利青在大迁移率二维样品以及低温强磁场(15T)环境中测量到了量子化的霍尔电阻平台，平台的平整度非常高，而且每个平台对应于一个整数。

      我们知道，输运性质是非常依赖于材料本身的，有效质量、杂质、材料的尺寸都会对输运产生影响，但是惊人的是，后续对于不同二维材料的实验表明，这种量子化的电导平台具有普适性，且其仅仅与基本物理学常数有关（电子电荷、普朗克常数），这就意味着其背后一定有深刻简洁的普适的基本物理规律！

       IQHE发现后不久，1982年华裔物理学家崔琦和德国物理学家施特默（H. L. Stormer)在更大的磁场中发现了分数相关的电阻平台，即分数量子霍尔效应(FQHE),而后人们意识到FQHE是一个真正的多体问题。Laughlin提出了Laughlin多体波函数，预言了1/3电荷，以及Jain的复合费米子理论，成功地解释了FQHE。之后量子霍尔效应家族不断发展壮大，包括量子自旋霍尔效应、量子反常霍尔效应etc. 华人物理学家做出了卓越贡献，比如张首晟教授、戴希教授、薛其坤教授。另一方面，IQHE将凝聚态物理带入了拓扑凝聚态的新时代，原本的凝聚态物理可以说建立在朗道的Fermi liquid理论以及相变理论之上，自IQHE以后，凝聚态物理开始关心体系的整体几何性质，新物理层出不穷。

       这个专题讲了什么：这个专题首先利用Boltzmann输运理论回顾了经典霍尔效应的结论 ( 对这部分计算不感兴趣，或者熟悉经典霍尔效应的读者，建议跳过），然后介绍了三种对于整数量子霍尔效应的理解，包括Halperin的边缘态图像 ( 其中介绍了对于实验方向读者非常有用的Buttiker formula)、Laughlin的charge pumping图像、TKNN拓扑数。由于这个专题放在能带拓扑专栏中，我们的重点还是在于从拓扑数的角度理解IQHE，我们将利用线性响应+松原格林函数，严格地推导横向霍尔电导与Chern nubmber的关系。（如果读者对计算过程不感兴趣或者不熟悉多体方法，可以跳过证明，直接接受TKNN公式）

      说在前面：需要固体物理，尤其是朗道能级的知识，以及Berry Phase的知识（Berry phase的详细内容在附录中）