复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A03]参考解答

2021-10-19 21:54 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A03]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A03]设多项式 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5En%2Ba_1x%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ccdots%2Ba_%7Bn-1%7Dx%2Ba_n$ ， $A$ 是 $f(x)$ 的友阵:

$A%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5C%20%26%5C%20%26%5C%20%26%5C%20%26-a_n%5C%5C1%26%5C%20%26%5C%20%26%5C%20%26-a_%7Bn-1%7D%5C%5C%5C%20%26%5Cddots%26%5C%20%26%5C%20%26%5Cvdots%5C%5C%5C%20%26%5C%20%26%5Cddots%26%5C%20%26%5Cvdots%5C%5C%5C%20%26%5C%20%26%5C%20%261%26-a_1%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$

设 $n$ 阶矩阵 $X$ 满足 $XA%3DA%5E%5Cprime%20X$ ，求证： $X$ 是对称阵.

解 $%E8%AE%BEX%3D%5Cleft(x_%7Bij%7D%5Cright)_%7Bn%5Ctimes%20n%7D%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E8%80%83%E8%99%91%E7%AD%89%E5%8F%B7%E4%B8%A4%E8%BE%B9%E7%9A%84%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E7%9A%84%E7%BB%93%E6%9E%9C%EF%BC%8C%E6%9C%89%EF%BC%9A$

$XA%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_%7B12%7D%26x_%7B13%7D%26%5Ccdots%26x_%7B1n%7D%26-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bx_%7B1i%7Da_%7Bn-i%2B1%7D%7D%5C%5Cx_%7B22%7D%26x_%7B23%7D%26%5Ccdots%26x_%7B2n%7D%26-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bx_%7B2i%7Da_%7Bn-i%2B1%7D%7D%5C%5C%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5C%20%26%5Cvdots%26%5Cvdots%5C%5Cx_%7Bn2%7D%26x_%7Bn3%7D%26%5Ccdots%26x_%7Bnn%7D%26-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bx_%7Bni%7Da_%7Bn-i%2B1%7D%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$

$A%5E%5Cprime%20X%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_%7B21%7D%26x_%7B22%7D%26%5Ccdots%26x_%7B2n%7D%5C%5Cx_%7B31%7D%26x_%7B32%7D%26%5Ccdots%26x_%7B3n%7D%5C%5C%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5C%20%26%5Cvdots%5C%5Cx_%7Bn1%7D%26x_%7Bn2%7D%26%5Ccdots%26x_%7Bnn%7D%5C%5C-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bx_%7Bi1%7Da_%7Bn-i%2B1%7D%7D%26-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bx_%7Bi2%7Da_%7Bn-i%2B1%7D%7D%26%5Ccdots%26-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bx_%7Bin%7Da_%7Bn-i%2B1%7D%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$

比较对应位置的元素我们容易发现，

$x_%7B12%7D%3Dx_%7B21%7D%2Cx_%7B13%7D%3Dx_%7B22%7D%3Dx_%7B31%7D%2Cx_%7B14%7D%3Dx_%7B23%7D%3Dx_%7B32%7D%3Dx_%7B41%7D%2C%5Ccdots$

依此类推，可知下标和相同的项都相同，从而 $X$ 是对称阵.

注本人并不知道本题是否有其它解法，做矩阵乘法比较对应元素的方法显得并不那么巧妙，如果有读者发现了其它解法，欢迎发在评论区或者私信我进行交流！

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