实数的形式化 #4 自然数 (4) 自然数与基数

    在集合的形式化中，我们通过等价类构造出了基数，并讨论了基数的序与运算的一些基本性质。现在，基于目前的自然数的理论，我们可以得到关于基数的更多的内容。

    每一个自然数都可以通过以下的方式对应到一个基数，这里用后缀".c"表示。例如，0.c、1.c、2.c 都是基数。

    现在我们已经可以用自然数来表达出一些具体的基数了，有以下定理：

    自然数到基数的对应能保持大小关系不变。

    自然数对应的基数之和等于自然数之和对应的基数。

    自然数对应的基数之积等于自然数之积对应的基数。在证明这个定理时，需要用到带余除法。

    自然数对应的基数的乘方等于自然数的乘方对应的基数。在证明这个定理时，需要用到进位制。

    幂集的基数可以用以 2.c 为底的基数的乘方表示，这一结果大于原集合的基数。

    基数有有限和无限之分。可以被一个自然数对应的基数是有限基数，其他的基数是无限基数。基数有限的集合是有限集，基数无限的集合是无限集。

    我们定义自然数类型的全集的基数为 。可以证明，一个基数是有限基数当且仅当它小于 。 是无限基数，我们称其为可数无限。基数小于等于  的集合被称为可数集，基数大于  的集合被称为不可数集。

    其他的一些定理如下：

    基数相关的内容非常丰富，这里写出的仅仅是可能对后续的内容有帮助并且在作者的能力范围内的。至此，自然数的部分告一段落，接下来我们将依次构造整数、有理数，最终完成实数的构造。