直观理解向量的数量积

在平面和立体几何中， 数量积被定义为两个向量的长度的乘积乘以夹角的余弦。 数量积的性质主要满足交换律和分配律。 

数量积有没有几何含义？ 没有。 它既不代表一个长度， 也不代表一个面积。 

那么为什么学习数量积？ 以下解答这个问题。 

平面和立体几何的理论向更高维度发展， 就成为线性代数。 在线性代数中， 类似数量积的概念叫做内积。 平面和立体几何因为其维度较低， 可以方便的在现实世界中具象化呈现， 因此常常作为线性代数的入门基础被传授。学习数量积其实是学习一种特殊的， 较为简单直观的内积。 

内积作为一种数学工具， 可以用来发展其他很多重要的线性代数的概念和理论。 更可贵的是， 内积往往可以被方便地计算得出具体值。 这样， 一边寻找捷径计算出内积， 一边巧妙利用内积求的其他更具现实意义的结论， 就成了线性代数的日常工作之一。 内积就此因为它承上启下的关键地位， 成为了教学的优先。 按照参考视频中的说法， 内积并不是某个人发明的， 而是数学家群体在实践中逐渐形成的共识： 内积是线性代数中一个特别好用的概念工具。 

视频中指出， 内积的其中一个基础的应用， 是定义“长度”的概念。 既然向量与自身的数量积等于向量长度的平方， 那么向量长度自然可以被定义为向量自身数量积的开平方。 长度的定义在三维世界中显得脱裤子放屁， 但是在更高维度宇宙中， 当三维的尺子无法施行测量的时候， 就变得意义非凡了。 

视频指出， 数量积作为一种运算等价于三个性质的综合： 交换律commutativity， 分配律distributivity， 和特定的非负非零性即非零向量与自身的数量积总是大于零。 额外地， 视频最后指出， 只要一种运算满足数量积的三种性质， 那么就可以用类似数量积的方法来操作。 但是最后这一点我还没真正理解。 

参考自MathTheBeautiful@Youtube.com(关键词"Why Inner Products"):

https://www.youtube.com/watch?v=Ww_aQqWZhz8

https://www.youtube.com/watch?v=aK12VQ_8CZI

https://www.youtube.com/watch?v=bEqUvZQapn8

https://www.youtube.com/watch?v=ZXOzKHq3-YA