先回到初始状态（第二弹）（2019课标Ⅲ，12）

2022-12-03 20:59 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2019课标Ⅲ，12）设函数 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Csin%20%5Cleft(%20%5Comega%20x%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ $%5Cleft(%5Comega%3E0%20%5Cright)$ ，已知 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft%5B%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright%5D%20$ 有 $5$ 个零点.下述四个结论：

① $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 有且仅有 $3$ 个极大值点；

② $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 有且仅有 $2$ 个极小值点；

③ $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ 单调递增；

④ $%5Comega%20$ 的取值范围是 $%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B12%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B29%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ .

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④

B.②③

C.①②③

D.①③④

解：先令 $%5Comega%20%3D1$ ，画出函数图象未经伸缩之前的初始状态：

从 $y$ 轴往右数，第 $5$ 个零点为 $%5Cfrac%7B24%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D$ ，

第 $6$ 个零点为 $%5Cfrac%7B29%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D$ ，

故 $%5Comega%20$ 应满足 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09%5Cfrac%7B24%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%5Cleqslant%202%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%2C%5C%5C%09%5Cfrac%7B29%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%3E2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得 $%5Comega%20%5Cin%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B12%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B29%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ ，故④正确；

由图易知在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ 有 $3$ 个极大值点，

在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B29%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Cright)%20$ 无极大值点，

故伸缩之后，在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 有且仅有 $3$ 个极大值点，①正确；

由图易知在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ 有 $2$ 个极小值点，

在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B29%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Cright)%20$ 有 $1$ 个极小值点，

伸缩之后，在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%20%5Cright)%20$ 的 $2$ 个极小值点必然进入 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ，而在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B24%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B29%5Cpi%7D%7D%7B5%7D%5Cright)%20$ 的 $1$ 个极小值点可能进入 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ，也可能不进入 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ，故 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C2%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 可能有 $%5Ccolor%7Bred%7D2$ 个极小值点，也可能有 $%5Ccolor%7Bred%7D3$ 个极小值点，②错误；

由图可知，未伸缩之前，

在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ 单调递增，

且在 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D$ 右侧第一个极值点为 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B3%5Cpi%7D%7D%7B10%7D$ ，

由于 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B3%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Comega%7D%3E%5Cfrac%7B3%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B10%7D%7B29%7D%3E%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B3%5Cpi%7D%7D%7B10%7D$ 伸缩之后未进入 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ ，

故 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 依然在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20$ 单调递增，③正确.

综上所述：选D.

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