【数学基础28】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；
收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；
收敛数列必有界；
有限个无穷小的和还是无穷小；
有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；
设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；
设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；
设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.
定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'；
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试求下列数列{an}的极限lim an：
a.an=[2（sin n）^2+（cosn）^2]^（1/n）
b.an=（n+1+ncos n）^[1/（2n+nsin n）]
解：
a——
2（sin n）^2+（cosn）^2=（sin n）^2+1；
0<=（sin n）^2<=1，则1<=（sin n）^2+1<=2；
1<=an<=2^（1/n）；
lim 2^（1/n）=1；
lim an=1.
b——
1<n+1+ncos n<=1+2n；
n<=2n+nsin n<=3n；
1<an<=（1+2n）^（1/n）=n^（1/n）*（2+1/n）^（1/n）<n^（1/n）*3^（1/n）；
lim n^（1/n）*3^（1/n）=limn^（1/n）*lim 3^（1/n）=1*1=1；
lim an=1.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
证明：以平行四边形的两条对角线为邻边组成的另一平行四边形的面积等于原来平行四边形面积的2倍。
证：
设原平行四边形的两个邻边上的向量为a，b，则该平行四边形的面积为|axb|.它的两条对角线上的向量分别为a+b及a-b；
以a+b及a-b为邻边的平行四边形的面积为|（a+b）x（a-b）|；
（a+b）x（a-b）
=axa-axb+bxa-bxb；
axa=0，bxb=0，bxa=-axb，所以（a+b）x（a-b）=-2axb=-2（axb）；
|（a+b）x（a-b）|=2|axb|，证毕。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：两个n级斜对称矩阵的乘积是对称矩阵当且仅当它们可交换。
证：
必要性——
已知，两个n级斜对称矩阵A与B的乘积是对称矩阵，即A'=-A，B'=-B，（AB）'=AB；
（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA；
由1,2：AB=BA，即A与B可交换。
充分性——
已知，两个n级斜对称矩阵A与B可交换，即A'=-A，B'=-B，且AB=BA；
则（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA=AB，即矩阵A与B的乘积是对称矩阵。
到这里！
