最近一个朋友问了我一个游戏数值上的计算问题，我觉得他没搞明白概率论。在被他洗脑几次之后，我感觉他的想法可能也有道理，在自习思考后又得出了一些哲学结论（？？？），所以想总结的说一下。

问题描述

这个问题说起来也很简单，他在玩一个赌博小游戏，初始拥有资金1，小游戏的获胜概率是0.7，失败概率是0.3，获胜后可以得到双倍的投入金额，失败后失去所有的投入金额。他的问题是，如何选择投注策略使得玩家可以稳定的快速获利。

我一看到就得出了结论，就是每次all in。这样必然可以使得最终的获利期望最大，这个结论是显然的，因为对于任意的投注x，单次的收入期望是1.4x ，也就是说收入期望正比于投入，显然每次all in可以获得最大的期望。

现实冲突

但是这个结论对于他的实战没有任何指导意义，因为一旦他失败一次，所有的积蓄就瞬间消失。对于一个玩家来说，这往往意味着弃游。他觉得这和他的直觉“相谬”，于是自己进行了其他方法的计算。他的计算方法一开始令人困惑，仔细想想也有道理。他的计算方法是这样的：

假设每次投入的金额占据总金额的比例是x，经过一定的投入次数后，根据大数定律，最终的胜负比例大概是7:3，也就是说，最终的金额应该是：
          

其中，n是一个无穷大量。

也就是说，计算上式的最大值，等于计算x，使得上式去掉n的部分最大，即：

                                   

他通过excel列表计算出了上式的最大值。显然，这个并不需要那么复杂，直接用均值不等式就可以求解：                           

                                

当且仅当 时上式等号成立，x=0.4。

显然，他用这种办法计算出了一个所谓的“最优解”，虽然这种办法需要平均10次，才能增长到1.6倍，但是他说用这个办法确实增加了他的收入（而不是猝死）。即他每次把当前财产的0.4倍投入游戏。

 

 

问题解决

他的这个所谓的“最优解”和我计算的最大收入期望算法得出了不同的结论。这令我一开始非常困惑，花了一点时间我想明白了为什么。其实道理很简单，如果仔细分析一下，就会发现他并不是在计算期望，而是最大可能性发生的一个情况下的收入，只是计算期望的一部分。

N次游戏后，假设胜利次数是v，期望的完整表达式应该是：

                                                                  

                           

显然这是高中学的，是一个二项分布。他的算法实际上是计算了发生概率最大的那种情况，对应的收入是多少（i=n*0.7），然后用这一种情况代替了期望，所以得出了不同的结论——我们算的目标不一样。

 

一些思考

1.        显然他的结论是有一定指导意义的，但是意义有限。这个游戏依然是越多投入盈利越快。

2.        如果说，这个社会是这样一个游戏。每个人都是玩家，可以有自己的游戏策略。对于社会而言，最优的策略是所有人每次都all in，这样社会财富一个周期就可以1.4倍。但是对于个体而言，可能最优的策略就会改变，例如变成x=0.4，或者干脆不投入。在前一种情况下，如果放任玩家自由游戏，那么“看不见的手”会使得“终产者”必然出现；后一种情况，可能会使得社会财产停滞不前或者增长缓慢。也就是说，这时集体利益和个人利益很可能是矛盾的。这时可能就需要补偿制度来促进再分配了。

3.        游戏中的货币数量是可以无限的，但是滥发会使得货币贬值。货币贬值对用户不一定是很好的体验，因为他的“人生价值”会因为货币贬值而下降，所谓“合理的再分配”就必然导致玩家的劳动时间贬值（“商品的价值是生产该商品的社会必要劳动时间决定的”），这似乎也是不可避免的。