2023数分Day58(傅里叶级数1：求展开式一)

一、整体感受

不难，总体考察两点，一是求Fourier级数展开式；二是再求一个和

二、需要掌握以及复习的

（其中3、4主要是理解清楚再去记忆公式，通过充分理解奇函数、偶函数的性质，如奇*奇=偶，偶*偶=偶来记忆；周期为2π情况下an后面跟的是cosnx,bn后面跟的是sinnx）

1、傅里叶系数和傅里叶级数概念

2、傅里叶级数的收敛性（狄利克雷收敛定理）及一道例题

【这也是后续可以求展开式的关键，其中定理中的第一类简单点定义需要再复习（即可去间断点+跳跃间断点）】

【例题】

【第一类间断点定义】

3、周期为2π的函数的展开

①：[-π,π]上展开

②：[-π,π]上奇偶函数的展开

③：[0,π]上展开为正弦或展为余弦

4、周期为2l的函数的展开

①：[-l,l]上展开

②：[-l,l]上奇偶函数的展开

①：[0,l]上展开为正弦或展为余弦

5、对于分奇偶的讨论，n=2k（偶），n=2k-1(奇），k=1,2,3....，看清楚、写清楚即可

6、分部积分一定要掌握，很多题都要算两次分部积分

三、具体题目

1（北京科技大学）

①关注到f(x)是偶函数，周期为2π，选择相应公式

【类型属于本专栏二、3、②】

②由于是偶函数，因此bn=0

③算a0,an

④检验一下f(x)，发现满足可以使用收敛定理的条件（连续+有限个单调区间），写出来这个傅里叶级数

⑤把x=0代入，再利用要求的级数的分母可以写成分母分别为奇次项和偶次项相加，最后分母4拿出来，便可得到。

2（新疆大学）

①关注到f(x)需要延拓，按照题意，展开成余弦级数（即只出现含有余弦函数的项），延拓成偶函数。

【类型属于本专栏二、3、③】

②因此bn=0

③算a0,an；算an的过程中注意分部积分使用的时候对于（x-π）^2千万不要展开做，不让计算会变麻烦！

④观察一下f(x)，发现满足可以使用收敛定理的条件（连续+有限个单调区间），写出傅里叶级数。

⑤令x=0，f(0)=limf(x)=π^2（x→0+），因此得到结论。

3（南京航空航天）

①关注到f(x)需要延拓，按照题意，展开成余弦级数（即只出现含有余弦函数的项），延拓成偶函数。

【类型属于本专栏二、3、③】

②因此bn=0

③算a0,an；

④观察一下f(x)，发现满足可以使用收敛定理的条件（连续+有限个单调区间），写出傅里叶级数

⑤令x=0，f(0)=limf(x)=1-0^2=1（x→0+），因此得到结论。