Espha的数学日常（2）复数法好·一道几何题的证明及普遍情形推广

2023-01-28 01:48 作者:Espha 0人读过 | 我要投稿

群友分享了一道非常有意思的几何题，说是有人在求证

那好吧，我就试试。看着挺好玩的

但是

@余温之尘，出来挨打！！！1111

看到这题，我的第一想法就是复数法...因为正方形太多了，复数坐标一看就很好算。虽然用直角坐标什么的也不难，但是感觉不如复数法

先把该标的点都标上

然后建个系吧，由于是复平面，所以以O点为原点建立复平面。

那么不熟悉复数法的同学就会问了，这O在哪呢？实轴虚轴的方向呢?

然而并不用管O在哪，方向怎么样，反正不会影响结果，所以不管了xxxx如果非要找。按习惯的话我会放在ABC的外心。方向，只要是逆时针为正角就好了，任意方向都能建。

$%E4%B8%8B%E9%9D%A2%E9%87%87%E7%94%A8%E7%82%B9%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%9A%84%E8%AF%AD%E8%A8%80%EF%BC%8C%E8%AE%B0%5Coverrightarrow%7BOX%7D%20%3DX%2C%E5%88%99%E6%9C%89%5Coverrightarrow%7BXY%7D%3DY-X%20$

我们先来证几个非常显然的引理

引理1： $%7Cz_1z_2%7C%3D%7Cz_1%7C%7Cz_2%7C$

引理2: $iz_1$ 的几何意义是，在复平面上对应的点绕原点逆时针旋转90°得到的点

读者自证不难。

现在，我们可以开始用复数法解决这个问题了

如图，显然 $%5Coverrightarrow%7BBX_2%7D$ 由 $%5Coverrightarrow%7BBA%7D$ 逆时针旋转90°得到，即 $X_2-B%3Di(A-B)$

立即可得

同理可得

又 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 由 $%5Coverrightarrow%7BAX_1%7D$ 逆时针旋转90°得到，即 $B-A%3Di(X_1-A)$

可得

同理可得

这样我们已经可以算出黄色区域的正方形的边长了。以 $X_1-Z_2$ 为例。

$%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D%3DX_1-Z_2%3D2iA-iB-iC%3Di%5B(A-B)%2B(A-C)%5D%3Di%5B%5Coverrightarrow%7BBA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%7BCA%7D%5D$

则 $%7C%5Coverrightarrow%7BX_1Z_2%7D%7C%5E2%3D%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%20%20%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%5E2$

这里直接用向量处理
$%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Coverrightarrow%7BAC%7D%7C%5E2%3D%5Coverline%7BAB%7D%5E2%2B%5Coverline%7BAC%7D%5E2%2B2%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BAC%7D%3D2%5Coverline%7BAB%7D%5E2-%5Coverline%7BBC%7D%5E2%2B2%5Coverline%7BCA%7D%5E2$

则有

回到面积上。对于面积，有

这条式子已经证明了黄色区域与红色区域的面积关系。

由刚刚算 $X_1%2CX_2$ 的经验，我们可以很快写出 $X_3%2CX_4$ 的坐标。

则有

又是线段之间的长度关系。那么面积关系则是

紫色区域同理可得。

而

$%5Coverrightarrow%7BZ_6X_5%7D%3DX_5-Z_6%3D(1%2Bi)X_3-iX_4-iZ_3-(1-i)Z_4$

$%3D(3%2Bi)X_1%2B(1-i)X_2-Y_1%2BY_2-(1%2Bi)Z_1%2B(-3%2Bi)Z_2%3D5i(2A-B-C)%3D5%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D%20$

由长度关系我们又得到了面积比。

对于这题，这样就结束了。完结撒花（迫真）

结束了吗？

对于本题来说，已经结束了。可复数法还可以做到的远不只这些。

如果我们继续迭代，继续对紫色的正方形向外作正方形呢?

迭代n次以后，接下来的面积比应该是多少?

如果使用复数法，它就变成了一道复数列问题。我们接下来探究这个问题。

$%E5%B7%B2%E7%9F%A5%3A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AX_1%3D(1%2Bi)A-iB%26X_2%3DiA%2B(1-i)B%5C%5C%0A%20Y_1%3D(1%2Bi)B-iC%26Y_2%3DiB%2B(1-i)C%5C%5C%0A%20%20Z_1%3D(1%2Bi)C-iA%26Z_2%3DiC%2B(1-i)A%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%E4%B8%94%E4%B8%8B%E6%A0%87%3E%3D1%E6%97%B6%E6%9C%89%0A$

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AX_%7B4n%2B1%7D%3D-iX_%7B4n%7D%2B(1%2Bi)X_%7B4n-1%7D%20%26%3A%26Y_%7B4n%2B1%7D%3D-iY_%7B4n%7D%2B(1%2Bi)Y_%7B4n-1%7D%26%3A%20%26Z_%7B4n%2B1%7D%3D-iZ_%7B4n%7D%2B(1%2Bi)Z_%7B4n-1%7D%5C%5C%5C%5C%0AX_%7B4n%2B2%7D%3D(1-i)X_%7B4n%7D%2BiX_%7B4n-1%7D%20%26%3A%26Y_%7B4n%2B2%7D%3D(1-i)Y_%7B4n%7D%2BiY_%7B4n-1%7D%26%3A%26Z_%7B4n%2B2%7D%3D(1-i)Z_%7B4n%7D%2BiZ_%7B4n-1%7D%5C%5C%5C%5C%0AX_%7B4n%2B3%7D%3DiZ_%7B4n%2B2%7D%2B(1-i)X_%7B4n%2B1%7D%26%3A%26Y_%7B4n%2B3%7D%3DiX_%7B4n%2B2%7D%2B(1-i)Y_%7B4n%2B1%7D%20%26%3A%26Z_%7B4n%2B3%7D%3DiY_%7B4n%2B2%7D%20%2B(1-i)Z_%7B4n%2B1%7D%20%5C%5C%5C%5C%0AX_%7B4n%2B4%7D%3D(1%2Bi)X_%7B4n%2B2%7D-iY_%7B4n%2B1%7D%20%26%3A%26Y_%7B4n%2B4%7D%3D(1%2Bi)Y_%7B4n%2B2%7D-iZ_%7B4n%2B1%7D%20%26%3A%26%20Z_%7B4n%2B4%7D%3D(1%2Bi)Z_%7B4n%2B2%7D-iX_%7B4n%2B1%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%0A%20%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

$%E6%B1%82%3AX_n%2CY_n%2CZ_n$

复制粘贴上面的过程，这组可以轻松地出来。

哇浪，这么复杂？（后跳）

别急，我们当然不需要求这个。还记得我们刚刚怎么求出面积比的吗？我们只需要求出不同迭代次数的正方形之间的边长的比例就可以了。

根据上面的推理可猜想

等式链当然很好证明，直接列式子就行了。对于平行链，我们可以用数学归纳法证明。

$%E5%81%87%E8%AE%BEX_%7B4n%7D-X_%7B4n-1%7D%3Dp_n(X_%7B4n-2%7D-X_%7B4n-3%7D)%E4%B8%94X_%7B4n%2B1%7D-Z_%7B4n%2B2%7D%3Dq_n(X_%7B4n-1%7D-Z_%7B4n%7D)$

$%E5%9C%A8n%3Ck%E6%97%B6%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%8C%E5%85%B6%E4%B8%ADp_n%2Cq_n%E5%9D%87%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E5%88%97$

又由上述的讨论可知，n=1时成立，且 $p_1%3D4%2Cq_1%3D5$

下证n=k时也成立

$X_%7B4k%7D-X_%7B4k-1%7D%3D(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2Bi(X_%7B4k-2%7D%2BX_%7B4k-3%7D-Y_%7B4k-3%7D-Z_%7B4k-2%7D)$

$%3D(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2Biq_%7Bk-1%7D...q_%7B1%7D(X_%7B2%7D-Y_%7B1%7D-Z_%7B2%7D%2BX_%7B1%7D)$

$%3D(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2B3q_%7Bk-1%7D...q_%7B1%7D(X_2-X_1)$

$%3D(1%2B%5Cfrac%7B3q_%7B1%7D...q_%7Bk-1%7D%7D%7Bp_1...p_%7Bk-1%7D%7D)(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%3Dp_k(X_%7B4k-2%7D-X_%7B4k-3%7D)%2Cn%3Dk%E6%97%B6%E6%88%90%E7%AB%8B$

同样地

$X_%7B4k%2B1%7D-Z_%7B4k%2B2%7D%3D(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Bi(X_%7B4k-1%7D-X_%7B4k%7D%2BZ_%7B4k%7D-Z_%7B4k-1%7D)$

$%3D(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Bip_k...p_1(X_%7B1%7D-X_%7B2%7D%2BZ_%7B2%7D-Z_%7B1%7D)$

$%3D(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Bp_k...p_1(X_1-Z_2)$

$%3D(1%2Bp_k%5Cfrac%7Bp_1...p_%7Bk-1%7D%7D%7Bq_1...q_%7Bk-1%7D%7D)(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%3Dq_k(X_%7B4k-1%7D-Z_%7B4k%7D)%2Cn%3Dk%E6%97%B6%E6%88%90%E7%AB%8B$

综上所述，归纳假设成立。这两条式子表明上述的平行链关系是成立的。

我们不仅证明了它成立，还可以把它转换成实数列问题。

根据上述关系，可以写出数列的递推式

$p_n%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%2B%5Cfrac%7B3q_%7B1%7D...q_%7Bn-1%7D%7D%7Bp_1...p_%7Bn-1%7D%7D%20%26(n%3E%3D2)%5C%5C%5C%5C%0A4%26(n%3D1)%0A%5Cend%7Bcases%7D%20%0Aq_n%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%2Bp_n%5Cfrac%7Bp_%7B1%7D...p_%7Bn-1%7D%7D%7Bq_1...q_%7Bn-1%7D%7D%20%26(n%3E%3D2)%5C%5C%5C%5C%0A5%26(n%3D1)%0A%5Cend%7Bcases%7D%20$

我们只需要解这个方程。

这个方程涉及乘积的形式，所以令 $P_n%3Dp_1%5Ccdot...%5Ccdot%20p_n%2CQ_n%3Dq_1%5Ccdot%20...%5Ccdot%20q_n$

n>=2时，将两边等式化简，则有

解得

这是一个二阶线性递推数列。用母函数、特征根等方法可以简单得到答案。直接上结果。

$%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0AP_n%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%20%7D)%20(%5Cfrac%7B5%2B%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%20%2B%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%7D)%20(%5Cfrac%7B5-%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%0A%5C%5C%5C%5C%0AQ_n%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%20%7D)%20(%5Cfrac%7B5%2B%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%20%2B%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B%202%5Csqrt%7B21%7D%7D)%20(%5Cfrac%7B5-%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D)%5En%0A%5Cend%7Bcases%7D%20$

$%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E9%A2%98%E6%84%8F%EF%BC%8C%E6%A0%87%E8%AE%B0%E5%90%91%E5%A4%96%E7%BF%BB%E7%9A%84%E7%AC%ACn%E6%AC%A1%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%92%8C%E4%B8%BAS_n$

则有

$%E5%8F%88S_2%3D3S_1%2C%E5%88%99%E6%9C%89$

这样就可以写出最终的答案了。

顺便再解一下 $p_n$ 和 $q_n$ 吧。显然 $P_0%3DQ_0%3D1%2C%E5%88%99p_n%3D%5Cfrac%7BP_n%7D%7BP_%7Bn-1%7D%7D%2Cq_n%3D%5Cfrac%7BQ_n%7D%7BQ_%7Bn-1%7D%7D$

然后，写出最后的结果

用复数法我们还得到了一些其它小结论。平行链自然不用说。

对于题目本身:

首先，通过式子可以看出，正方形迭代时，边长缩放倍率会逐渐趋近 $%5Cfrac%7B5%2B%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B2%7D$

$n%E2%86%92%2B%5Cinfty%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E6%9C%89S_%7B2n-1%7D%3AS_%7B2n%7D%3D%E5%AE%9A%E5%80%BC$

在几何上:

我们之前有一条式子长这样

这条式子的几何意义是， $%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D%E5%8F%AF%E7%94%B1(%5Coverrightarrow%7BBA%7D%2B%5Coverrightarrow%7BCA%7D)%E6%97%8B%E8%BD%AC90%C2%B0%E5%BE%97%E5%88%B0$

上局部图。 $%E6%98%BE%E7%84%B62%5Coverrightarrow%7BMA%7D%3D%5Coverrightarrow%7BBA%7D%2B%5Coverrightarrow%7BCA%7D$ ,故 $2i%5Coverrightarrow%7BMA%7D%3D%5Coverrightarrow%7BZ_2X_1%7D$

这条式子说明了 $%5Coverline%7BMA%7D%5Cbot%20%5Coverline%7BZ_2X_1%7D%EF%BC%8C%5Coverline%7BZ_2X_1%7D%3D2%5Coverline%7BMA%7D$ 这个实际上也可以拿来单独成题了，用复数法也是非常容易的。

如果用纯几何方法解呢?

倒也不是不行。但是感觉非常麻烦，只演示红黄部分，剩下的真的没有写的欲望了qwq...

$%E6%B3%A8%E6%84%8F%E5%88%B0cos%5Calpha%3D%5Cfrac%7BAB%5E2%2BAC%5E2-BC%5E2%7D%7B2AB%5Ccdot%20AC%7D%2C-cos%5Calpha%3D%5Cfrac%7BAB%5E2%2BAC%5E2-X_1Z_2%5E2%7D%7B2AB%5Ccdot%20AC%7D$