2023USAMO的两道几何题

先来看第一题：

非常基础的一个小问题。只需证NM⊥BC。欲刻画NM方向，考虑中位线：倍长AM至A'，则只需证A'D⊥BC，注意到A'、D、H、C四点共圆即证（Reim定理）。接下来放出完整过程：

本题比较简单，方法不只这一种，不过这种方法应该是比较本质的。

再来看第六题：

非常漂亮的一个问题。对于点F的性质还是比较基础的：△ADX∽△AIF、△ADI∽△AXF（当然，由于三角形内心、旁心的地位相同，因此也有△ADZ∽△AYF、△AZF∽△AYD）。因此考虑同一法：在BC上取F满足∠FAC=∠BAD，证明F在圆(ZDY)、圆(IDX)的根轴上。（消E）

要证明F在两圆根轴上，比较基础的思路是取出IF与圆(IDX)的第二交点G、YF与圆(ZDY)的第二交点H，去证I、H、G、Y四点共圆。

似乎目前只能将问题转化到这一步，我们考虑导角挖掘性质：由相似有180-∠IGX=∠IDX=∠ADX-∠ADI=∠AIF-∠AXF=∠IFX=180-∠XFG亦即XF=XG，同理ZF=ZH。这应该是比较重要的。

到了这一步，考虑做XN⊥IF，ZM⊥YF，则只需证I、M、N、Y四点共圆（消圆(IDX)、圆(ZDY)、点G、H）。而注意到I、B、X、N、C;Z、B、M、C、Y其实五点共圆。用根心定理即证，接下来放出完整过程：

两道题都很不错。