【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十一章简单机械

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】 

§11-4滑轮和轮轴

1、滑轮和轮轴

【01】在图11·9中，(a)是定滑轮，(b)是动滑轮，(c)是轮轴。图中表明的 P 是阻力，O 是支点，F 是动力。可以看出，任何时候，F、P、O 都在它们的直径或半径上。所以它们都是杠杆类型的机械。

【02】在图11·9(a)的定滑轮中，动力臂和阻力臂都是滑轮的半径r  。在不计无用阻力的情况下，根据力矩原理，  。它的机械利益为  。

【03】机械利益等于1，表示使用这种机械既不省力，也不费力。定滑轮的作用是改变了动力的方向（图11·10），也就是要把重物 P 提到高处，原来要用向上的力，现在利用定滑轮，就可以改用向下的力，因而方便得多了。

【04】在图11·9(b)的动滑轮中，动力臂是滑轮的直径 2r，阻力臂是它的半径 r，在不计无用阻力时，根据力矩原理，Pr＝F×2r，它的机械利益为。机械利益等于2，表示使用这种机械时，可以省去一半力（图11·11）。

【05】在图11·9(c)的轮轴中，动力臂是轮的半径R，阻力臂是轴的半径r  。在不计无用阻力时，根据力矩原理 Pr＝FR，它的机械利益为。由于 R 总是大于 r，所以 F 总是小于 P，即利用轮轴总是可以省力。图11·12中的辘轳、绞盘、石磨等都是轮轴的例子。

【06】上面的这些讨论，也可以用机械的功的原理来分析，结果是一样的。例如，对轮轴来讲，每转动一圈，动力功等于 F×2πR，阻力功等于P×2πr  。在不计无用阻力时，机械的动力功等于阻力功，即 F×2πR＝P×2πr，结果仍是。

【07】读者自己可以用同样的方法分析动滑轮和定滑轮。

2、滑轮组

【08】为了获得较大的机械利益，我们常常把几个动滑轮和几个定滑轮组合在一起应用，这种组合叫做滑轮组。滑轮组一般可以分为两类。图11·13所示的是用一根绳子联结起来的滑轮组，图11·14所示的是用几根绳子联结起来的滑轮组。

【09】我们先来求图11·13那样的滑轮组的机械利益。设有 n 股绳子系着动滑轮，则当这些动滑轮和重物 P 被提高 h 距离时，动力 F 要向下拉 nh 的距离。因此，在不考虑无用阻力（包括动滑轮本身的重量）时，根据功的原理，动力功应该等于有用功，即 F×nh＝P×h，它的机械利益为。这就是说，用一根绳子联结起来的滑轮组的机械利益，等于系在动滑轮上的绳子的股数n  。图11·13(a)的机械利益是3，(b)的是4。

【10】图11·14所示滑轮组的机械利益可以这样来进行分析：如图11·14(a)所示，有三根绳子分别系在三个动滑轮上。就滑轮1讲，它受到向上的两段绳子的拉力 F（因为是一根绳子的两段）和向下的拉力 T₁ 的作用，如图11·15(a)所示。同样地，动滑轮2的受力图如图11·15(b)所示，动滑轮3的受力图如图11·15(c)所示。当各滑轮匀速上升时，如果滑轮本身的重量不计，则每个滑轮所受到的上下两方的力应该相等，即 2F＝T₁，2T₁＝T₂，2T₂＝P  。解这些方程式，得 P＝8F  。所以这种滑轮组的机械利益是。

【11】这种装置是用动滑轮组成的。根据以上的讨论可以看出，用一个动滑轮的机械利益是2；用两个动滑轮的机械利益是4＝2×2＝2²；用三个动滑轮的机械利益是8＝2×2×2＝2³。由此类推，如果用n个动滑轮组成这样的装置，其机械利益为2ⁿ  。

【12】图11·14(b)所示的滑轮组，也可以用同样的方法来分析每个滑轮的受力情况。如图11·16所示，列出两个动滑轮和板的平衡方程，得 T₁＝2F，T₂＝2T₁，P＝F＋T₁＋T₂  。解这些方程，得 P＝F+2F+4F＝7F，所以这种滑轮组的机械利益为。

【13】这种装置是由一个定滑轮和几个动滑轮（图中是2个）组成的。如果只用一个定滑轮，机械利益是1＝2¹－1；如果用一个动滑轮和一个定滑轮，机械利益是3＝2²－1；如果用二个动滑轮和一个定滑轮，机械利益是7＝2³－1。依此类推，如果用 n 个动滑轮和一个定滑轮组成这样的装置，则它的机械利益将是2ⁿ⁺¹－1。

3、差动滑轮

【14】图11·17的上面是一个定滑轮，它是由两个直径差不多的并且装在同一根轴上的圆盘(A，B)组成的，下面是一个动滑轮，用一根绳子与上面的定滑轮联结起来，如图所示。这样组成的滑轮组叫做差动滑轮。

【15】设大轮 A 的半径是 R，小轮 B 的半径是r  。当动力 F 拉绳子使大轮转动一周时，动力 F 向下移动了 2πR 的路程，大轮卷起的绳子长 2πR，此时小轮也转动一周，并放下绳子（长2πr），因而动滑轮和重物 P 上升的高度为 1/2(2πR－2πr)。在不考虑无用阻力时，根据功的原理，得 F×2πR＝P×1/2(2πR－2πr)，。

【16】滑轮组的组合方式很多，求它们的机械利益时，必须进行具体分析。

例3.图11·18表示一个滑轮组。如果物体的重量为 P，求动力 F 和机械利益。

【解】这是由一个定滑轮和两个动滑轮用两根绳子联结起来的滑轮组。根据同一绳子各段的张力相等，我们可以画出各滑轮的受力图，如图11·19所示。

        动力 F 向下拉时，动滑轮 A 匀速下降，动滑轮 C 和重物匀速上升，它们处于动平衡状态中，所以对于滑轮A来讲：T＝2F，对于滑轮C来讲：T+2F=P，，即动力等于重物重量的四分之一，机械利益等于4。

例4.用一个定滑轮和一个动滑轮组成一个滑轮组，并且利用它把重75公斤的物体提高10米。如果滑轮组的效率是60%，求有用功、动力功和动力。

【解】这个滑轮组应该如图11·20所示的那样联结在一起。按题意，有用功＝75公斤×10米＝750公斤·米。所以，根据机械效率定义，得动力功=750/0.6=1250公斤·米。

        从图中可以看出，当重物（阻力）P 被提高10米时，动力 F 要拉下20米。所以1250＝F×20，即 F＝62.5公斤。

习题11-4

1、一个重60公斤的人，坐在悬椅上，利用如附图所示的滑轮组，拉动自身。求(1)这个人要用多少力？(2)如果由另外一个人站在地上拉，要用多少力？【(1)15公斤，(2)20公斤】

2、设轮轴的直径比为1:15。问在轮上需要用多少力，才能把轴上所悬挂的30公斤的重物举起？如果把重物举高5米，做功多少？【2公斤，150公斤·米】

3、水手四人用绞盘拔起沉在水中的铁锚。轴的直径为20厘米，绞盘臂长120厘米，如果每个人用力80公斤才能拔起，问锚重多少？【3.84吨】

4、一个由3个定滑轮和3个动滑轮组成的滑轮组的机械效率是0.6。用这种滑轮组匀速地提高物体时，如果所用的力是75公斤，求可以提起多少重的物体？【270公斤】

5、一个轮轴的机械效率是0.8，应用它可以用100公斤的力匀速地提高400公斤的物体，求轴和轮半径的比值。【1:5】