2022年全国乙卷圆锥曲线—— 一类不对称结构题

hello，大家好！

今天我们来看一下圆锥曲线中的一类不对称结构题吧。毕竟那些对称结构的题只要把韦达定理代入然后一顿操作，理论上就能做出来，而不对称结构就没那么好办了。

这一类不对称结构通常涉及到  与  的替换（或者  与  的替换），这一操作可以用韦达定理实现。

【例】已知椭圆  的方程为 ，过 的直线  交 于 、 两点，过  做 轴的平行线交直线  于  点，证明：直线  过定点

【分析】在此题中，、 的产生方式略有差别，因此 、 的坐标形式就不一样，这样一来，直接代入韦达定理就不太好办了，我们可以用另一种使用韦达定理的方式

【证明】设 ，，设  的方程为 ，与  联立消  得：

           

我们可以直接列出  与  的关系：

               

（注：对于一元二次方程 ，两根之和与两根之积的比值为 ）

 的坐标为 ，于是直线  的方程为：

                 

根据对称性，可以猜到定点在  轴上，于是我们把方程化为横截式：

我们把  换为 ，得到：

于是直线  的横截距恒为 ，可知直线  过定点 ，证毕！

这种操作同样可以应用于2022年的全国乙卷圆锥曲线题：

第二问显然也是一个不对称结构的问题，通过第一问得到  的方程为 ，先把第二问图画一下：

由于  不在原点，直线  的方程有一点复杂，我们干脆把图整体向左平移 ，向上平移，这样  方程变为：

直线  方程变为:

              

同时直线  过原点了

设 ，，设  方程为 ，与  联立消  得：

依然是列出  与  的关系：

        

利用题目条件得到H坐标为 ，于是可以列出  的方程：

这次不太好猜定点在哪里，我们不妨假设定点为 ，代入方程得：

将  替换为 ，得到：

两个括号里的式子都是关于  的式子，可以验证两者线性无关（不成比例）

于是有 

所以  过定点 ，当然，平移之前的图形中过定点 ，证毕！

本期专栏就到这里了，感谢大家收看！

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