“数轴是什么？”与实数的诞生，第一次数学危机的彻底解决
欧几里得32、“数轴是什么？”与实数的诞生，第一次数学危机的彻底解决
“有理数、无理数一起组成了数轴…数轴是有理数、无理数的集合…”PPT作者说。
…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…
…无、无理数：见《欧几里得27》…
…数、轴、数轴，集、合、集合：见《欧几里得30、31》…
“也就是说，数轴是‘有理数、无理数的集合’。”PPT作者接着说，“那么，‘有理数、无理数的集合’是什么？”
“这是一个新东西。新东西，意味着，人们要给它下定义，人们要给它起名字…”PPT作者继续说，“人们要描述它是什么…”
…下：见《欧几里得31》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…特：见《欧几里得23》…
…征：形声兼会意字。从彳，正声。彳为表示道路意义的“行”字左半，亦表道路。 “正”为“征”字初文，甲骨文字形作A，上面“B”表示城邑（yì），下“C”为人脚形。举趾（zhǐ）往邑，会远征或征伐之意。上面的口形或写为一实心圆点。金文“正”字上部的圆点或演化为一短横。春秋、战国金文“正”字上部常增添一短横，《说文（说文解字）》古文从此。
甲骨文中已有了从“彳”旁的征字。金文成为从辵（chuò）、正声的形声字。彳、辵为义近形符，常可通。
《说文》小篆（zhuàn）从辵、正声。另外一种字体从彳。汉以后一般只用从彳的征了。征本义为征伐。由本义征伐引申出夺取、收取赋（fù）税（shuì）等义。正加上彳或辵旁后与正逐渐分化为两字。
字义：1.走远路（多指军队）：～途。长～。
2.征讨：出～。南～北战。
3.政府召集：～兵。应～入伍。
4.征收：～税。
5.征用：～地。
6.征求：～稿。～文。
7.证明；证验：文献足～。有实物可～。
8.表露出来的迹象；现象：～候。象～。特～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…]
…特征：1.一事物异于其他事物的特点。（百度百科）
2. 人或事物的特点：艺术～。这个人的相貌有什么～？（百度汉语）…
…概：见《欧几里得21》…
…括：形声。从手、舌声。塞口吐音辨味者是舌的意思。手、舌叠加，手如舌般塞而结之束之，是括的意思。本义：结，扎，束。
字义：1.扎；束：～约肌。
2.包括：总～。概～。
3.对部分文字加上括号：把这几个字用括号～起来…
…概括：1.归纳，总括。把事物的共同特点归结在一起、进行简明地叙述。扼要重述，使文章更简明，让人们在很短的时间内就知道了文章的主要内容。如：用一句话概括；哲学是关于自然知识和社会知识的概括和总结。——《什么是知识》
2.加以概述或总结。
例：它确切地用三个词做了概括。
3.作归纳或一般的推理。
例：概括起来说…
“有理数、无理数是什么？有理数、无理数的本质特征是什么？”PPT作者最后说，“人们对这些问题进行了思考…”
“人们发现，有理数、无理数，它们都是实际存在的数。”PPT作者说，“于是，人们给它们取名‘实数’。”
“用‘实数’解释数轴，人们得到了以下结论：数轴由实数组成；实数组成了数轴；数轴是实数；实数是数轴…”PPT作者最后说，“这些都是符合数学事实的。”
（“实数是和虚数相对的概念，”中学生说，“虚数出现后，实数才真正诞生。”）
“实数诞生后，‘万物皆数’有了新说法…”PPT作者说，“今天持‘万物皆数’观点的人认为：一切实在物皆有形，形可以用数描述；运动与变化伴随着能量的交换与转化，能量可以用数表示；人的知识本质上是信息，信息可以用数记取；万物有质的不同，质又可以用数刻画…”
“就是说，无理数和万物皆数理论并不矛盾，”PPT作者最后说，“由此，第一次数学危机得到彻底解决。”
““数学家擅长用数学分析错综复杂的自然界，”中学生说，“他们会将自然界的景象抽象成数字，然用数字组成的公式——函数，描述景象的过去、现在、以及未来。”
请看下集《欧几里得33、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来》”
若不知晓历史，便看不清未来
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